Derivados totales en GR

La divergencia covariante de un vector es

$$\nabla_\mu V^\mu = \frac{\partial_\mu (V^\mu \sqrt{-g})}{\sqrt{-g}}$$

Lo que significa que agregar una divergencia covariante al Lagrangiano dará como resultado el siguiente cambio:

$$\Delta S = \int d^4x \sqrt{-g} \nabla_\mu V^\mu = \int d^4x \partial_\mu (V^\mu \sqrt{-g})$$

que una vez más es fácil ver que se desvanece utilizando la integración por partes. Como con la mayoría de las otras cosas en la relatividad general, la sustitución$\partial \rightarrow \nabla$hace que esto todavía funcione bien.

OP está observando que en el espacio de Minkowski$g_{\mu\nu}=\eta_{\mu\nu}$, no importa si escribimos

$${\cal L} ~=~\sqrt{|g|}\partial\phi\partial\bar{\phi} \tag{1}$$ o $${\cal L}~=~-\sqrt{|g|}\phi\Box\bar{\phi}\tag{2}$$ para la densidad lagrangiana, si no nos importan los términos de divergencia total. OP está reflexionando sobre lo que sucede en el espacio-tiempo curvo $(M,g)$? En realidad, ambas ecuaciones. (1) y (2) siguen siendo aplicables si interpretamos el recuadro $\Box$como el operador de Laplace-Beltrami de $(M,g)$. Por supuesto, cualquier otra interpretación no sería geométricamente correcta.