Acción de la línea de tiempo de una partícula puntual en un campo gravitatorio

Question

Acción de la línea de tiempo de una partícula puntual en un campo gravitatorio

acción
Física
geodésicas
relatividad general
formalismo lagrangiano
principio variacional

TaeNyFan

En mis conferencias GR sobre la derivación de ecuaciones geodésicas a través de la longitud extrema, mi profesor escribió que la acción de la línea de mundo $S$ de una partícula puntual con masa $m$ es dado por

\begin{matrix} (1) & S = - metro \int \sqrt{- {gramo}_{α β} {\dot{X}}^{α} {\dot{X}}^{β}} d τ, \end{matrix}

$S=-m\int\sqrt{-g_{\alpha\beta}\dot{x}^\alpha\dot x^\beta}d\tau,\tag{1}$ dónde

\begin{matrix} (2) & \dot{X} (τ) = \frac{d X (τ)}{d τ} . \end{matrix}

$\dot x(\tau)=\frac{dx(\tau)}{d\tau}.\tag{2}$

¿De dónde viene esta ecuación? Leí en wikipedia que la acción de la línea de tiempo de una partícula puntual relativista es

\begin{matrix} (3) & S = - metro C^{2} \int d τ, \end{matrix}

$S=-mc^2\int d\tau,\tag{3}$ dónde

τ

$\tau$ es el momento adecuado. ¿Estas dos ecuaciones están relacionadas de alguna manera?

Eletie

¿Sabes cómo se relaciona el tiempo adecuado con la métrica? (Es decir, escriba el elemento de línea y compare las dos expresiones integrales anteriores). También tenga en cuenta los índices en su

x

$x$ los términos deben ser elevados, no rebajados.

Respuestas (1)

Acción de la línea de tiempo de una partícula puntual en un campo gravitatorio

¿Sabes cómo se relaciona el tiempo adecuado con la métrica? (Es decir, escriba el elemento de línea y compare las dos expresiones integrales anteriores). También tenga en cuenta los índices en su $x$ los términos deben ser elevados, no rebajados.

qmecanico · Answer 1

Sí, el punto principal es que la longitud del arco $^1$

\begin{matrix} (A) & d s = C d τ = \sqrt{- {gramo}_{m v} (X) d X^{m} d X^{v}} \end{matrix}

$ds~=~cd\tau~=~\sqrt{-g_{\mu\nu}(x) dx^{\mu}dx^{\nu}}\tag{A}$ en el espacio-tiempo es la velocidad de la luz

c

$c$ veces el tiempo adecuado

d τ

$d\tau$ , de modo que

\begin{matrix} (B) & C \dot{τ} = \dot{s} = \sqrt{- {gramo}_{m v} (X) {\dot{X}}^{m} {\dot{X}}^{v}}, \end{matrix}

$c\dot{\tau}~=~\dot{s}~=~\sqrt{-g_{\mu\nu}(x) \dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}},\tag{B}$ donde punto significa diferenciación wrt. el parámetro worldline (WL)

λ

$\lambda$ (que no es necesariamente el momento adecuado

τ

$\tau$ ). La acción es por tanto

\begin{matrix} (C) & S = metro C^{2} Δ τ = metro C Δ s = metro C \int_{λ_{i}}^{λ_{F}} d λ \sqrt{- {gramo}_{m v} (X) {\dot{X}}^{m} {\dot{X}}^{v}}, \end{matrix}

$S~=~ mc^2\Delta \tau~=~ mc\Delta s~=~mc\int_{\lambda_i}^{\lambda_f}\!d\lambda ~\sqrt{-g_{\mu\nu}(x) \dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu}}, \tag{C}$ cf, por ejemplo, esta publicación de Phys.SE y sus enlaces.

--

$^1$ En esta respuesta, usamos el $(-,+,+,+)$ Convención de signos de Minkowski.

Acción de la línea de tiempo de una partícula puntual en un campo gravitatorio

TaeNyFan

Eletie

Respuestas (1)

qmecanico

Acción de una partícula puntual masiva en un espacio-tiempo curvo

¿Existe un principio de Maupertuis para la Relatividad General?

Ecuación de Euler-Lagrange en Relatividad General

¿Cuándo establecer una cantidad constante en un Lagrangiano (de ecuación geodésica)?

¿La acción de Einstein-Hilbert solo contiene las primeras derivadas de la métrica?

Intuición de acciones escritas como integrales en el espacio-tiempo

¿Cuál es la motivación para la acción de Einstein-Hilbert?

¿Por qué podemos establecer variaciones para la métrica y sus derivados a cero en el infinito?

Derivados totales en GR

Término límite en la acción de Einstein-Hilbert