¿Existe un principio de Maupertuis para la Relatividad General?

I) Suponemos que la pregunta de OP se refiere a una partícula puntual masiva de masa en reposo$m_0>0$en una variedad de espacio-tiempo lorentziano$(M,g)$[de firma$(+,-,\ldots, -)$] entre un punto espaciotemporal inicial y uno final$p_i, p_f\in M$, que debe estar causalmente conectado. Trabajemos en unidades donde la velocidad de la luz$c=1$y masa de reposo$m_0=1$ambos son uno.

II) Antes de discutir el principio de Maupertuis , primero deberíamos tener un principio de acción estacionario (SAP). La pregunta de OP menciona un no especificado$4$-fuerza. Para tener un principio variacional, debemos exigir que ese$4$-la fuerza proviene de un potencial$U$. La acción es entonces

$$S[x;\lambda_i,\lambda_f] ~=~\int_{\lambda_i}^{\lambda_f}\! d\lambda~L, \qquad L~=~T-U,$$ $$\tag{1} T~:=~-\sqrt{T_0},\qquad T_0~:=~ g_{\mu\nu}\dot{x}^{\mu}\dot{x}^{\nu},$$

dónde$\lambda$es un parámetro, y el punto significa diferenciación wrt.$\lambda$.

III) En el SAP, imponemos condiciones de contorno de Dirichlet (BC)

$$\tag{2} x^{\mu}(\lambda_i)~=~x_i^{\mu}\qquad\text{and}\qquad x^{\mu}(\lambda_f)~=~x_f^{\mu},$$

y mantener$\lambda_i,\lambda_f$fijado.

IV) Supondremos que la acción (1) es reparametrización invariante

$$\tag{3}\lambda\quad\longrightarrow\quad \tilde{\lambda}~=~f(\lambda),$$

ya que la física debe ser geométrica.

V) El Lagrangiano$4$-la función de cantidad de movimiento y energía se convierte en

$$\tag{4} p_{\mu}~:=~\frac{\partial L}{\partial\dot{x}^{\mu}}~=~ -\frac{g_{\mu\nu}\dot{x}^{\nu}}{\sqrt{T_0}}-\frac{\partial U}{\partial\dot{x}^{\mu}},$$

y

$$\tag{5} h~:=~ p_{\mu}\dot{x}^{\mu} - L~=~\left(1 - \dot{x}^{\mu}\frac{\partial }{\partial\dot{x}^{\mu}}\right)U,$$ respectivamente.

VI) Usualmente cuando se discute el principio de acción abreviado , se asume que el Lagrangiano (1) no tiene$\lambda$-dependencia, de modo que la energía (5) se conserva en la capa. No explícito$\lambda$-la dependencia puede sonar natural e inocente, pero junto con la invariancia de reparametrización (3), restringe severamente los posibles potenciales$U$. El potencial de Lorentz$U\propto A_{\mu}\dot{x}^{\mu}$todavía está permitido, por supuesto.

VII) De hecho, no hay$\lambda$-La invariancia de dependencia y reparametrización (3) implica básicamente que la función de energía (5) desaparece de forma idéntica.

VIII) La acción abreviada se convierte en

$$\tag{6} A[x;E,\lambda_i,\lambda_f] ~=~\int_{\lambda_i}^{\lambda_f}\! d\lambda~ p_{\mu}\dot{x}^{\mu}$$

para trayectorias virtuales de energía constante e igual

$$\tag{7} h~=~E,$$

satisfaciendo a Dirichlet BC (2), pero libre$\lambda_i$y$\lambda_f$. De la Sección VII, sabemos que la energía$E=0$sale de la acción abreviada (6).

IX) Volviendo a la pregunta de OP, parece que hay pocas esperanzas de lograr una forma de raíz cuadrada de Jacobi del principio de acción abreviado (6) sin más suposiciones.

El próximo paso natural es asumir que el potencial$U$no depende de la$4$-velocidad$\dot{x}^{\mu}$. Entonces la función de energía$h\equiv U$se convierte en la energía potencial, y$p_{\mu}\dot{x}^{\mu}\equiv T\equiv -\sqrt{T_0}$.

Sin embargo, con todos los demás requisitos anteriores, esto básicamente implica que el potencial$U=0$es cero!

Por supuesto, sin un potencial$U=0$, como era de esperar, logramos una forma de raíz cuadrada de Jacobi del principio de acción abreviado

$$\tag{8} A[x;E,\lambda_i,\lambda_f] ~=~-\int_{\lambda_i}^{\lambda_f}\! d\lambda~\sqrt{T_0} .$$

La acción abreviada (8) es idéntica al SAP (1) del que partimos, esencialmente debido a la invariancia de la reparametrización.