¿Un término adicional de cuatro divergencias en una densidad lagrangiana es importante para las ecuaciones de campo?

Question

¿Un término adicional de cuatro divergencias en una densidad lagrangiana es importante para las ecuaciones de campo?

Física
condiciones de borde
formalismo lagrangiano
cálculo variacional
principio variacional
derivados funcionales

LYg

Greiner en su libro "Field Quantization" página 173, eq.(7.11) hizo este cálculo:

${\mathcal L}^\prime=-\frac{1}{2}\partial_\mu A_\nu\partial^\mu A^\nu+\frac{1}{2}\partial_\mu A_\nu\partial^\nu A^\mu-\frac{1}{2}\partial_\mu A^\mu\partial_\nu A^\nu$
$\space\space\space\space=-\frac{1}{2}\partial_\mu A_\nu\partial^\mu A^\nu+\frac{1}{2}\partial_\mu[A_\nu(\partial^\nu A^\mu)-(\partial_\nu A^\nu) A^\mu]$

El último término es una cuádruple divergencia que no tiene influencia en las ecuaciones de campo. Por lo tanto, la dinámica del campo electromagnético (en el calibre de Lorentz) puede describirse mediante el Lagrangiano simple

${\mathcal L}^{\prime\prime}=-\frac{1}{2}\partial_\mu A_\nu\partial^\mu A^\nu$

Sí, si es una cuádruple divergencia de un vector cuya componente 0 no contiene derivadas temporales del campo , de hecho, de acuerdo con el principio variacional, esta cuádruple divergencia no influirá en la ecuación del campo.

Y de hecho calculé la dependencia derivada del tiempo del componente 0 de $[A_\nu(\partial^\nu A^\mu)-(\partial_\nu A^\nu) A^\mu]$ , en el que sólo $[A_0(\partial^0 A^0)-(\partial_0 A^0) A^0]$ posiblemente podría contener una derivada del tiempo, que afortunadamente se desvanece, por lo que cualquiera que sea el caso general, no importa en este caso presente.

Pero, ¿cómo puede parecer que afirma que se cumple para un término general de cuatro divergencias , The last term is a four-divergence which has no influence on the field equations?

EDITAR:
solo asumí que la condición límite era $A^\mu=0$ en el infinito espacial, no en el infinito del tiempo. Y la variación de la acción. $S = \int_{t_1}^{t_2}L \, dt$ se debe a la variación de campos que se desvanecen en el tiempo, $\delta A^\mu(\mathbf x,t_1)=\delta A^\mu(\mathbf x,t_2)=0$ , no tener el conocimiento de $\delta \dot A^\mu(\mathbf x,t_1)$ y $\delta \dot A^\mu(\mathbf x,t_2)$ , que generalmente no desaparecen, por lo que el término de cuatro divergencias en general contribuirá a la acción,

d S_{j} = d \int_{t_{1}}^{t_{2}} d t \int d^{3} X \partial_{m} j (A (X), \nabla A (X), \dot{A} (X))^{m} = d \int_{t_{1}}^{t_{2}} d t \int d^{3} X {\dot{j}}^{0} = \int d^{3} X [d j (X, t_{2})^{0} - d j (X, t_{1})^{0}]

$\delta S_j=\delta \int_{t_1}^{t_2}dt\int d^3\mathbf x \partial_\mu j(A(x),\nabla A(x),\dot A(x))^\mu =\delta \int_{t_1}^{t_2}dt\int d^3\mathbf x \dot j^0 =\int d^3\mathbf x [\delta j(\mathbf x, t_2)^0-\delta j(\mathbf x, t_1)^0]$ que no desaparece en general!

Andrés

Como dice, en su ejemplo, los derivados de tiempo se cancelan, por lo que no hay problema. Un ejemplo donde esta sutileza es importante es la acción de einstein hilbert. Hay derivadas de tiempo que no desaparecen en el límite. La solución en ese caso es agregar términos de límite (los términos de límite de York de los gibones) que cancelan las piezas infractoras.

alex nelson

(a) Creo que te refieres al calibre Lorenz, no a Lorentz. (b) Si realmente aplica esa condición de calibre, ese último término se convierte en

\partial_{μ} [A_{ν} (\partial^{ν} A^{μ})]

$\partial_{\mu}[A_{\nu}(\partial^{\nu}A^{\mu})]$ . El problema se convierte en una trivialidad después de eso...

Respuestas (3)

¿Un término adicional de cuatro divergencias en una densidad lagrangiana es importante para las ecuaciones de campo?

Como dice, en su ejemplo, los derivados de tiempo se cancelan, por lo que no hay problema. Un ejemplo donde esta sutileza es importante es la acción de einstein hilbert. Hay derivadas de tiempo que no desaparecen en el límite. La solución en ese caso es agregar términos de límite (los términos de límite de York de los gibones) que cancelan las piezas infractoras.
(a) Creo que te refieres al calibre Lorenz, no a Lorentz. (b) Si realmente aplica esa condición de calibre, ese último término se convierte en $\partial_{\mu}[A_{\nu}(\partial^{\nu}A^{\mu})]$ . El problema se convierte en una trivialidad después de eso...

qmecanico · Answer 1

I) El argumento geométrico es claro: considere una densidad lagrangiana ${\cal L}=d_{\mu}F^{\mu}$ eso es una divergencia total. La acción correspondiente

\begin{matrix} (0) & S [ϕ] = \int_{METRO} d^{norte} X L = \int_{\partial METRO} d^{norte - 1} X (\dots) \end{matrix}

$S[\phi] ~=~ \int_M \! d^nx~{\cal L}~=~ \int_{\partial M} \! d^{n-1}x~(\ldots)\tag{0}$

será entonces una integral de frontera, debido al teorema de la divergencia . Por lo tanto, la correspondiente derivada variacional/funcional ,

\begin{matrix} (1) & \frac{d S}{d ϕ^{α} (X)} \end{matrix}

$\frac{\delta S}{\delta\phi^{\alpha}(x)}\tag{1}$

que es un objeto que vive en el bulto (en lugar de en el límite), nunca puede ser más que idénticamente cero en el bulto

\begin{matrix} (2) & \frac{d S}{d ϕ^{α} (X)} \equiv 0, \end{matrix}

$\frac{\delta S}{\delta\phi^{\alpha}(x)}~\equiv~0,\tag{2}$

si existiera. (Nota: incluso para una densidad lagrangiana suficientemente suave ${\cal L}$ , la existencia de la derivada funcional no es una cuestión trivial y está ligada a si se asumen o no condiciones de contorno consistentes en la variación).

A continuación, recuerde que (la expresión para) las ecuaciones de campo del movimiento está simplemente dada por la derivada funcional (1) de la acción. Entonces según la ec. (2), (la expresión para) las ecuaciones de campo del movimiento se desvanecen de manera idéntica.

II) Finalmente, extender el argumento anterior de la sección I por linealidad a una densidad lagrangiana general de la forma ${\cal L}+d_{\mu}F^{\mu}$ que incluyen un término extra de divergencia total. Concluya a través de la linealidad, que este último no contribuye a las ecuaciones de campo de movimiento.

¿Podría explicar un poco más cómo la linealidad lleva a la conclusión en su último párrafo?
La pregunta original se refería a una divergencia de cuatro, pero usted hace referencia a una divergencia total en su respuesta, es decir, $\partial_u F^u$ versus $d_u F^u$ . ¿Su resultado solo es válido para la divergencia total?
Entonces el límite $\partial M$ es 0-dimensional, por ejemplo, un punto inicial y final.

leonelbrit · Answer 2

Un término $\int\!d^4x\, \operatorname{Tr}\, F \wedge F$ se puede agregar a una teoría de Yang-mills no abeliana (se desvanece trivialmente para el caso abeliano, debido a la cuña), y es una derivada total. Este término no influye en las ecuaciones de movimiento. Sin embargo, esta es una carga topológica que cuenta algo parecido al "número de bobinado" del campo indicador.

Otro lugar en el que entra es en la teoría de cuerdas, donde cuenta el número de identificadores en la hoja de mundo, lo que permite que surja una segunda cuantización de forma bastante natural.

danu · Answer 3

Si tiene una divergencia de cuatro dentro de una integral sobre todo el espacio-tiempo (que es lo que obtiene cuando extrema la acción), el resultado será un término que será algún producto del campo (s) y sus derivados, evaluado en el límite del espacio-tiempo. Dado que asumimos que todos los campos van a cero (lo suficientemente rápido, de modo que sus derivadas también van a cero) en el límite, tenemos una contribución de cero y podemos ignorar el término con seguridad.

Sin embargo, puede haber algunas sutilezas que podrían impedir que uno use este argumento en algunos casos, que desconozco. Espero que alguien más informado que yo pueda arrojar algo de luz al respecto.

EDITAR: Mire los comentarios a continuación para obtener información adicional.

La integral no tiende a cero. Parte del límite de la región del espacio-tiempo está en el infinito espacial, pero parte está en los segmentos de tiempo para el tiempo inicial y final. Pero como no varías los grados de libertad (aquí, el campo) en el tiempo inicial y final, esta parte de la integral no contribuye a la variación en la acción. Entonces, al encontrar la variación de la acción para obtener las ecuaciones de campo, es como si estos términos no existieran ya que no causan variación.
Me parece bien. Supongo que asumí un conocimiento previo de los métodos lagrangianos en contextos que no son de campo.

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LYg

Andrés

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