Intuición de acciones escritas como integrales en el espacio-tiempo

Comparemos la mecánica clásica y GR para intentar obtener la intuición que está buscando.

Mecanica clasica.

Recuérdese que en la mecánica clásica de un sistema de$N$partículas, la configuración del sistema en cada momento está representada por un punto$x\in\mathbb R^{3N}$. El múltiple de configuración$\mathcal Q$, a saber, el conjunto de configuraciones posibles, es en realidad una subvariedad de$\mathbb R^{3N}$porque hay algunas limitaciones.

El objetivo de la mecánica clásica es predecir el movimiento del sistema en su variedad de configuración para todos los tiempos$t$dada la configuración y la velocidad del sistema en algún momento inicial$t_0$.

En otras palabras, el objetivo es determinar una curva$x:[t_0, \infty)\to \mathcal Q$que representa el movimiento del sistema dados los datos iniciales. En la mecánica clásica, esto se puede lograr a través de un principio de acción. Es decir, existe un funcional$S$que traza curvas$x:[t_a, t_b]\to\mathcal Q$en el espacio de configuración a números reales tales que el movimiento del sistema está gobernado por ecuaciones de movimiento que resultan de requerir que los movimientos del sistema sean puntos estacionarios de la acción que es típicamente una integral sobre un Lagrangiano local;

$$\begin{align} S[x] = \int_{t_a}^{t_b}dt\, L(t, x(t), \dot x(t)) \end{align}$$ Otra forma de decir esto es que si $\mathcal C$denota el conjunto de todas las curvas admisibles en $\mathcal Q$, entonces la acción es un funcional $S:\mathcal C\to \mathbb R$cuyos puntos estacionarios son movimientos físicos del sistema.

Relatividad general.

En relatividad general, en lugar de querer resolver el movimiento de un sistema de partículas en una variedad dada, a menudo se quiere resolver la métrica del espacio-tiempo dada alguna otra información. Por ejemplo, tal vez sepa que está buscando un espacio-tiempo estático con simetría esférica. Entonces se podría considerar el conjunto de todas las métricas admisibles, llamarlo$\mathcal G$, y uno podría preguntarse

¿Cuál de las métricas en$\mathcal G$son físicos?

Aquí$\mathcal G$es análogo al conjunto de todas las curvas$\mathcal C$en la mecánica clásica. Resulta que la respuesta a esta pregunta, al menos en el contexto de la gravedad de Einstein sin materia y obviando algunas sutilezas, es que la métrica debe ser un punto estacionario de la acción de Einstein-Hilbert;

$$\begin{align} S_\mathrm{EH}[g] = \int_M d^4x\sqrt{|\det(g_{\mu\nu})|} R_g \end{align}$$ dónde $R_g$es el escalar de Ricci para la métrica $g$, y $M$es la variedad del espacio-tiempo.

La intuición principal.

Para intuir esto, recuerde que en el caso de la mecánica clásica, buscábamos una curva que fuera un punto estacionario de$S:\mathcal C\to \mathbb R$, y las curvas son funciones del tiempo, por lo que la acción es una integral en el tiempo. En el caso de$GR$, estamos buscando una métrica que sea un punto estacionario de$S_{\mathrm{EH}}:\mathcal G \to \mathbb R$, y las métricas son funciones del espaciotiempo, por lo que la acción es una integral sobre el espaciotiempo.