Contabilización de las derivadas del tensor métrico en la acción de Einstein-Hilbert

Question

Contabilización de las derivadas del tensor métrico en la acción de Einstein-Hilbert

acción
Física
relatividad general
formalismo lagrangiano
principio variacional
derivados funcionales

usuario2275987

Estoy desconcertado sobre la derivación canónica de GR de la acción de Einstein-Hilbert; conseguir que la derivación gelifique con un tratamiento explícito de la derivada funcional no está funcionando. Entonces comienza la derivación (tomada aquí de Wikipedia, aunque otra literatura es similar),

I = \int \sqrt{- gramo} d^{4} X [\frac{1}{2 k} R + L]

$I = \int{\sqrt{-g}d^4x} \left[\frac{1}{2 \kappa}R + \mathcal{L}\right]$

e inmediatamente procede a

d I = 0 = \int d^{4} X d {gramo}_{m v} [\frac{1}{2 k} \frac{d (\sqrt{- gramo} R)}{d {gramo}_{m v}} + \frac{d (\sqrt{- gramo} L)}{d {gramo}_{m v}}] .

$\delta I = 0 =\int d^4x \delta g_{\mu \nu}\left[\frac{1}{2\kappa}\frac{\delta\left(\sqrt{-g}R\right)}{\delta g_{\mu \nu}}+\frac{\delta\left(\sqrt{-g}\mathcal{L}\right)}{\delta g_{\mu \nu}}\right].$

Pero el escalar de Ricci depende de la primera y segunda derivada del tensor métrico, entonces ¿por qué no tenemos factores?

d {gramo}_{m v, α}, d {gramo}_{m v, α β},

$\delta g_{\mu \nu, \alpha}~, \qquad \delta g_{\mu \nu,\alpha \beta}~,$

contra el cual también variamos? Tal vez haya alguna identidad que en este caso haga que estos términos se desvanezcan, pero no la veo.

danu

Para un tratamiento razonablemente explícito (y, de hecho, bastante tedioso), consulte el libro de Carroll sobre GR (sección 4.3)

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Para un tratamiento razonablemente explícito (y, de hecho, bastante tedioso), consulte el libro de Carroll sobre GR (sección 4.3)

jerry schirmer · Answer 1

Absolutamente tienes estos términos. La mayoría de las personas simplemente integran implícitamente por partes y, de manera realista, ocultan estos términos en otros términos, porque el álgebra explota en toneladas de términos muy rápidamente. Una versión muy laboriosa de esto se desarrolla en el libro de Teoría Clásica de Campos en la serie de Landau y Lifschitz.

Alternativamente, puede usar la forma Palantini de la variación y variar los símbolos de Christoffel, en lugar de la métrica.

qmecanico · Answer 2

I) Incluso antes de variar la acción, recordar que la densidad lagrangiana de Einstein-Hilbert (EH) es

\begin{matrix} (1) & L_{mi H} \sim \sqrt{- det ({gramo}_{\cdot \cdot})} {{gramo}^{m v} R_{m v} (Γ_{L C}, \partial Γ_{L C}) - 2 Λ} \end{matrix}

$\tag{1} {\cal L}_{EH}~\sim~\sqrt{-\det(g_{\cdot\cdot})} \left\{g^{\mu\nu}~ R_{\mu\nu}(\Gamma_{LC},\partial\Gamma_{LC})-2\Lambda\right\}$

dónde $\Gamma_{LC}$ se refieren a los símbolos Levi-Civita (LC) de Christoffel , que a su vez dependen de hasta derivadas de primer orden $\partial g_{\cdot\cdot}$ de la métrica $g_{\mu\nu}$ .

Por inspección de la ec. (1), vemos que la densidad EH Lagrangiana (1) es lineal en derivadas de segundo orden

\begin{matrix} (2) & L_{mi H} = F^{m v λ σ} ({gramo}_{\cdot \cdot}) \partial_{m} \partial_{v} {gramo}_{λ σ} + F ({gramo}_{\cdot \cdot}, \partial {gramo}_{\cdot \cdot}), \end{matrix}

$\tag{2} {\cal L}_{EH} ~=~ {\cal F}^{\mu\nu\lambda\sigma}(g_{\cdot\cdot})~\partial_{\mu} \partial_{\nu}g_{\lambda\sigma} + {\cal F}(g_{\cdot\cdot},\partial g_{\cdot\cdot}) ,$

que podemos reescribir como una función $F(g_{\cdot\cdot},\partial g_{\cdot\cdot})$ que depende de hasta derivadas de primer orden, más un término de divergencia total:

\begin{matrix} (3) & L_{mi H} = F ({gramo}_{\cdot \cdot}, \partial {gramo}_{\cdot \cdot}) + d_{m} [F^{m} ({gramo}_{\cdot \cdot}, \partial {gramo}_{\cdot \cdot})] . \end{matrix}

$\tag{3} {\cal L}_{EH} ~=~F(g_{\cdot\cdot},\partial g_{\cdot\cdot}) + d_{\mu} \left[ F^{\mu}(g_{\cdot\cdot},\partial g_{\cdot\cdot}) \right].$

Los términos de divergencia total en la densidad lagrangiana dan lugar a términos de contorno en la acción. Si solo queremos derivar el EFE en el volumen interior, lejos de los límites, entonces se pueden despreciar los términos de divergencia total. Consulte también esta publicación Phys.SE relacionada.

II) Sin embargo, la historia completa es más complicada. Tenga en cuenta que para tener un principio de acción estacionario consistente con derivadas funcionales/variacionales bien definidas , se deben asignar condiciones de contorno apropiadas. Esto no es posible sin agregar el término límite de Gibbons-Hawking-York (GHY) a la acción EH.

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usuario2275987

danu

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jerry schirmer

qmecanico

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