¿Cuál es la motivación para la acción de Einstein-Hilbert?

Una forma rápida y sucia de ver esto es considerar el estrés-energía$T_{\mu\nu}$y su relación con la densidad lagrangiana

$$T_{\mu\nu}~=~2\frac{\partial{\cal L}}{\partial g^{\mu\nu}}~-~g_{\mu\nu}{\cal L}.$$ Ahora toma el rastro de esto multiplicando por $g^{\mu\nu}$por lo que obtenemos $$g^{\mu\nu}T_{\mu\nu}~=~2{\cal L}~+~2g^{\mu\nu}\frac{\partial{\cal L}}{\partial g^{\mu\nu}}.$$ Ahora compare esto con la ecuación de campo de Einstein $R_{\mu\nu}~-~\frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}$ $=~8\pi GT_{\mu\nu}$. Multiplique esto por $g^{\mu\nu}$y es fácil ver que ${\cal L}~=~R$.

Sin embargo, esto es demasiado consistente en todas las coordenadas, ya que la densidad de Lagrange se evalúa como$\int{\cal L}d^4x$. Para que esto sea coherente con respecto a las transformaciones de coordenadas, debe multiplicarse por la potencia del determinante jacobiano del tensor métrico. El determinante jacobiano del tensor métrico es

$$det\Big|\frac{\partial x^\mu}{\partial x^\nu}\Big|~=~\sqrt{-g}.$$ Esto significa que la densidad lagrangiana completa para la gravitación es ${\cal L}_g~=~\sqrt{-g}R$.

Creo que viene del Principio de Mínima Acción. Considere, para el Lagrangiano$\mathscr{L}$la acción

$$S = \int_{\text{all space}}\mathscr{L}d\,\Omega$$

Considere una pequeña variación en el tensor métrico tal que

$$g_{\mu \nu} \mapsto g_{\mu \nu}+S g_{\mu \nu}$$ lo que naturalmente conduciría a una variación en la acción misma $S \mapsto S + \delta S$. El principio de acción implica que $$\delta S = \int_{\text{all space}}\mathscr{L}^{\mu \nu}\delta g_{\mu \nu} d \Omega = 0$$ Donde el $(2,0)$densidad tensorial del peso $1$Se define como $\mathscr{L}^{\mu \nu} = \frac{\delta \mathscr{L}}{\delta g_{\mu \nu}}$.

La aplicación del principio de acción mínima confinado al espacio gravitacional es

$$S_g = \int_{\text{space}}\mathscr{L}_g\,d \Omega$$ La condición requerida para llegar a las ecuaciones de campo es que $$\delta \int \mathscr{L} d^4 x=0$$ La única densidad escalar de peso. $1$que involucra la métrica y sus derivadas hasta segundo orden es $\sqrt{-g}R$. Entonces, si uno toma $$\begin{align} \mathscr{L}_g &= \kappa^{-1}\sqrt{-g}R\\ &= \kappa^{-1}\sqrt{-g}g^{\mu \nu}R_{\mu \nu} \end{align}$$ Luego sigue el resultado.