EM clásico: vínculo claro entre la simetría de calibre y la conservación de la carga

Question

EM clásico: vínculo claro entre la simetría de calibre y la conservación de la carga

Física
teoría de campo
electromagnetismo
invariancia de calibre
teorema de noethers
leyes-de-conservacion

dolún

En el caso de la teoría clásica de campos , el teorema de Noether asegura que para una acción dada

S = \int d^{d} X L (ϕ_{m}, \partial_{v} ϕ_{m}, X^{i})

$S=\int \mathrm{d}^dx\,\mathcal{L}(\phi_\mu,\partial_\nu\phi_\mu,x^i)$ que permanece invariante bajo la transformación

{x^{i} \to x^{i} + δ x^{i}; ϕ_{μ} \to ϕ_{μ} + δ ϕ_{μ}}

$\{ x^i\rightarrow x^i+\delta x^i \,;\, \phi_\mu\rightarrow \phi_\mu+\delta \phi_\mu\}$ , es decir una simetría local , entonces existen cantidades conservadas llamadas corrientes .

Si existe un conjunto de variables $\{\epsilon_r,X_r^i,\Phi_r^\mu\}$ (dónde $\epsilon_r\rightarrow 0$ ) tal que $\delta x^i=\epsilon_r\,X_r^i$ y $\delta \phi^\mu=\epsilon_r\,\Phi_r^\mu$ , entonces estas corrientes son las cantidades:

j_{r}^{v} = \frac{\partial L}{\partial (\partial_{v} ϕ^{m})} Φ_{r}^{m} + [L d_{σ}^{v} - \frac{\partial L}{\partial (\partial_{v} ϕ^{m})} \partial_{σ} ϕ^{m}] X_{r}^{σ} .

$J_r^{\,\nu}=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\nu\phi^\mu)}\Phi_r^\mu+\left[\mathcal{L}\delta_\sigma^{\,\nu}-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\nu\phi^\mu)}\partial_\sigma\phi^\mu\right]X_r^\sigma.$ Estos se conservan en el sentido de que

\partial_{ν} J_{r}^{ν} = 0

$\partial_\nu J_r^{\,\nu}=0$ , lo cual es verdadero en el caparazón, es decir, siempre que se verifiquen las ecuaciones de movimiento.

Ahora estoy tratando de aplicar este resultado en el caso de la teoría de campo EM clásica . Considere el lagrangiano asociado:

L_{mi METRO} = - \frac{1}{4} F_{m v} F^{m v} + A_{m} j^{m}

$\mathcal{L}_{EM}=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+A_\mu j^{\,\mu}$ dónde

A_{μ} = (ϕ, - A)

$A_\mu=(\phi,-\textbf{A})$ es el potencial 4 y

j^{μ} = (ρ, j)

$j^{\,\mu}=(\rho,\textbf{j})$ es la corriente 4, que describe las fuentes de carga clásicas .

F_{μ ν}

$F_{\mu\nu}$ es el tensor EM .

En ese caso, las ecuaciones de movimiento son:

\partial_{v} F^{v m} = j^{m} .

$\partial_\nu F^{\nu\mu}=j^{\,\mu}.$

Teniendo en cuenta la simetría de calibre global de la teoría de campo EM clásica

A_{m} \to A_{m} + ϵ \partial_{m} x

$A_\mu\rightarrow A_\mu+\epsilon\,\partial_\mu\chi$ dónde

χ

$\chi$ es una función de calibre arbitraria, me gustaría aplicar el teorema de Noether en el caso en que

X_{r}^{i} = 0

$X_r^i=0$ . En referencia a esta publicación de Phys.SE , la corriente conservada asociada dice:

j^{m} = F^{m v} \partial_{v} x con \partial_{m} j^{m} = 0.

$J^\mu=F^{\mu\nu}\partial_\nu\chi\quad\text{with}\quad\partial_\mu J^\mu=0.$ Bien, ahora tengo algunas preguntas:

¿Es realmente legítimo aplicar el teorema de Noether a la simetría de calibre global ? Quiero decir, ¿sigue siendo válido el teorema de Noether incluso si tengo un conjunto $\{\epsilon_r,X_r^i=0,\Phi_r^\mu\}$ , es decir, no hay transformación en las coordenadas?

Relacionado: ¿La simetría de calibre no es una simetría? .

En ese caso, ¿qué significa el $J^\mu$ cantidad físicamente significa? Uno puede calcular, usando ecuaciones de movimiento y la antisimetría de $F^{\mu\nu}$ :
$\partial_{m} j^{m} = \partial_{m} F^{m v} \partial_{v} x + F^{m v} \partial_{m} \partial_{v} x = j^{v} \partial_{v} x + 0.$ $\partial_\mu J^\mu=\partial_\mu F^{\mu\nu}\,\partial_\nu\chi + F^{\mu\nu}\,\partial_\mu\partial_\nu\chi=j^{\,\nu}\,\partial_\nu\chi+0.$ Prefiero esperar algo como $\partial_{m} j^{m} = \partial_{m} j^{m} = 0, \forall x .$ $\partial_\mu J^\mu=\partial_\mu j^{\,\mu}=0,\;\forall\chi.$ En ese caso, podría entender que la conservación de la carga proviene directamente de la simetría de calibre global . Hay algo que claramente me estoy perdiendo. ¿O debería engañar computando? $\int\mathrm{d}x\,\partial_\mu J^\mu$ y realizar una integración por partes?
No puedo ver en ninguna parte que aparezca claramente el hecho de que la física de la teoría EM clásica es invariante bajo la transformación de Lorentz . Esperaría que tal invariancia fuera una simetría realmente fuerte del sistema.

una mente curiosa

Estrictamente hablando, el teorema de Noether se aplica solo a simetrías globales, y lo que escribiste allí no es una simetría global ya que

χ

$\chi$ depende del espacio-tiempo. No entiendo su última pregunta: el Yang-Mills Lagrangian es manifiestamente invariante de Lorentz, y la cantidad asociada con la simetría de Lorentz es, como siempre, el tensor de energía de estrés.

dolún

Gracias por tu comentario. Hay algo que no entiendo: así que si aquí

A_{μ} \to A_{μ} + \partial_{μ} χ

$A_\mu\rightarrow A_\mu +\partial_\mu\chi$ no es una simetría global, entonces por qué la transformación

x^{i} \to x^{i} + δ x^{i}, ϕ_{μ} \to ϕ_{μ} + δ ϕ_{μ}

$x^i\rightarrow x^i+\delta x^i\,,\,\phi_\mu\rightarrow \phi_\mu +\delta\phi_\mu$ debería llamarse simetría global ya que también depende de las coordenadas? ¿La diferencia entre la simetría local y global tiene algo que ver con el hecho de que las leyes de conservación se pueden derivar dentro o fuera del caparazón?

dolún

Para la última pregunta, solo sentía que la invariancia de Lorentz se "mezclaría" con la invariancia de calibre para garantizar la conservación de la carga, pero seguramente me estaba equivocando.

Respuestas (2)

EM clásico: vínculo claro entre la simetría de calibre y la conservación de la carga

Estrictamente hablando, el teorema de Noether se aplica solo a simetrías globales, y lo que escribiste allí no es una simetría global ya que $\chi$ depende del espacio-tiempo. No entiendo su última pregunta: el Yang-Mills Lagrangian es manifiestamente invariante de Lorentz, y la cantidad asociada con la simetría de Lorentz es, como siempre, el tensor de energía de estrés.
Gracias por tu comentario. Hay algo que no entiendo: así que si aquí $A_\mu\rightarrow A_\mu +\partial_\mu\chi$ no es una simetría global, entonces por qué la transformación $x^i\rightarrow x^i+\delta x^i\,,\,\phi_\mu\rightarrow \phi_\mu +\delta\phi_\mu$ debería llamarse simetría global ya que también depende de las coordenadas? ¿La diferencia entre la simetría local y global tiene algo que ver con el hecho de que las leyes de conservación se pueden derivar dentro o fuera del caparazón?
Para la última pregunta, solo sentía que la invariancia de Lorentz se "mezclaría" con la invariancia de calibre para garantizar la conservación de la carga, pero seguramente me estaba equivocando.

una mente curiosa · Answer 1

El (primer) teorema de Noether no es aplicable a las simetrías locales, como las simetrías de calibre. Para las simetrías locales, se debe usar el segundo teorema de Noether , menos conocido . En general, uno puede enunciar su primer y segundo teorema de la siguiente manera:

Dejar $\mathscr{L}(\phi):= \frac{\partial L}{\partial \phi} - \partial_\mu \frac{\partial L}{\partial (\partial_\mu \phi)}$ denote la expresión de Lagrange para el campo $\phi$ . Dejar $\phi_i$ ser los campos de nuestra teoría. Entonces, para cualquier variación de los campos ( $\delta\phi_i = \delta_0 \phi_i + \partial_\mu\phi_i\delta x^\mu$ ) y coordenadas
$\sum_{i} L (ϕ_{i}) d_{0} ϕ + \sum_{i} \partial_{m} (L d X^{m} + \frac{\partial L}{\partial (\partial_{m} ϕ_{i})} d_{0} ϕ_{i}) = 0$ $\sum_i \mathscr{L}(\phi_i)\delta_0 \phi + \sum_i \partial_\mu (L\delta x^\mu + \frac{\partial L}{\partial(\partial_\mu \phi_i)}\delta_0\phi_i) = 0$ se mantiene si $\delta S = 0$ .

A partir de esto, se sigue el primer teorema de Noether con la corriente conservada usual tomando la variación de los campos como una transformación de simetría global, es decir $\delta \phi_i = \sum_a \frac{\partial \delta \phi_i}{\partial \epsilon^a}\epsilon^a$ para el parámetro continuo $\epsilon \in \mathbb{R}^N$ del grupo de simetría, y reconociendo que, en el caparazón, $\mathscr{L}(\phi_i) = 0$ .

El segundo teorema de Noether es lo que se obtiene cuando el $\epsilon^a$ se les permite depender del espacio-tiempo. Si permitimos tales transformaciones locales , entonces tenemos $\delta \phi_i = c_{ai}\epsilon^a + d^\mu_{ai}\partial_\mu\epsilon^a$ para algunas constantes $c,d$ . (En general, también se puede permitir que la transformación local dependa de derivadas superiores, pero en el contexto de las teorías de calibre no lo hará (e incluso allí, la única transformación dependiente de la derivada es la del propio campo de calibre)) Entonces , el enunciado del segundo teorema de Noether es

\sum_{i} L (ϕ_{i}) C_{a i} - \sum_{i} \partial_{m} (L (ϕ_{i}) d_{a i}^{m}) = 0

$\sum_i \mathscr{L}(\phi_i)c_{ai} - \sum_i \partial_\mu (\mathscr{L}(\phi_i)d^\mu_{ai}) = 0$

En el caso del electromagnetismo, tiene (al menos) dos formas de usar estas variaciones en el teorema de Noether para obtener la conservación de la carga: puede usar la simetría de calibre global junto con las ecuaciones de Euler-Lagrange del campo de materia , o puede usar el calibre local simetría junto con las ecuaciones EL del campo de calibre (tienes que ser un poco complicado para hacerlo de la última manera - mira la referencia al final).

Los ingenuos conservaron corriente de la pregunta, $J^\mu = F^{\mu\nu}\partial_\nu \chi$ , no tiene significado físico, ya que no es invariante de calibre y, por lo tanto, no es observable.

Un recorrido maravillosamente conciso de las diferentes versiones del teorema de Noether en el contexto de las teorías de calibre se da en "Teoremas de Noether y simetrías de calibre" por K. Brading y HR Brown .

qmecanico · Answer 2

I) modelo de OP

S [A] = \int d^{4} X (- \frac{1}{4} F_{m v} F^{m v} + j^{m} A_{m}),

$S[A]~=~\int\! d^4x~ \left(-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+J^{\mu}A_{\mu}\right),$ se menciona como el punto 4 en mi respuesta Phys.SE aquí . Repitamos (para ser autónomos):

J^{μ}

$J^{\mu}$ se tratan como fuentes de materia de fondo clásicas no dinámicas pasivas. En otras palabras, solo los campos de indicador

A_{μ}

$A_{\mu}$ son variables dinámicas en este modelo. Antes incluso de comenzar, tenemos que asegurarnos de que la acción sea simétrica del calibre local (fuera de la carcasa).

S [A]

$S[A]$ hasta los términos de frontera. Esto implica que las fuentes de fondo clásicas

J^{μ}

$J^{\mu}$ debe satisfacer la ecuación de continuidad

d_{μ} J^{μ} = 0

$d_{\mu}J^{\mu}=0$ fuera de la cáscara. Por lo tanto, se nos impone una ley de conservación incluso antes de que apliquemos los teoremas de Noether. Tenga en cuenta que la simetría de calibre global es una declaración vacía en este modelo.

II) Parece que el problema de OP al aplicar el primer teorema de simetría global de Noether está relacionado con el hecho de que no incluye la teoría de la materia en su acción. Uno debe considerar la acción completa $S[A,\Psi]$ de los campos de norma y de materia.

La conservación de la carga eléctrica se sigue de la simetría de calibre global de la acción completa $S[A,\Psi]$ , cf. por ejemplo , este y este Phys.SE publicaciones.

III) Dado que la simetría de calibre global es un subconjunto de la simetría de calibre local, la conservación de la carga en principio también se deriva de la simetría de calibre local. Pero desde un punto de vista purista/minimalista, es excesivo utilizar la simetría de calibre local para probar la conservación de la carga.

La simetría de calibre local es el ámbito del segundo teorema de Noether, cf. por ejemplo , esta publicación de Phys.SE. La ley de conservación fuera del caparazón asociada con la segunda corriente de Noether es una trivialidad para la electrodinámica.

Gracias por tu respuesta. Entonces, técnicamente hablando, si entiendo bien: si quiero probar la conservación de la carga, tengo que incluir el campo de materia $\Psi$ en el modelo, ¿verdad? En realidad, las fuentes de fondo $J^\mu$ satisfacen tautológicamente la ecuación de continuidad solo porque son fuentes. ¿Está bien?

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