Leyes de conservación infinitas aplicando el teorema de Noether a la simetría local U(1)U(1)U(1) de QED

El Lagrangiano de QED es

$$\begin{equation} \mathcal{L}=-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+\bar{\psi}\big(i\not{D}-m\big)\psi \end{equation}$$

dónde$F_{\mu\nu}=\partial_{\mu}A_{\nu}-\partial_{\nu}A_{\mu}$y$\not{D}=\gamma^\mu\big(\partial_\mu+iqA_\mu)$. Aquí$A_\mu$es el campo de calibre EM y$q$es la carga del electrón. Este lagrangiano tiene un$U(1)$simetría de calibre

$$\begin{equation} \begin{cases} \psi\rightarrow\psi'=e^{iq\alpha(x)}\psi \\ \bar{\psi}\rightarrow\bar{\psi}'=e^{-iq\alpha(x)}\bar{\psi} \\ A_\mu\rightarrow A_\mu'=A_\mu-\partial_\mu\alpha(x) \end{cases} \end{equation}$$

dónde$\alpha(x)$es una función arbitraria suave de la coordenada del espacio-tiempo$x^\mu$. Ahora, aplicamos la definición de la Corriente Noether

$$\begin{equation} J^\mu=\frac{\delta \mathcal{L}}{\delta (\partial_\mu\phi_a)}\delta \phi_a \end{equation}$$ (donde no estoy agregando el término adicional debido a que el lagrangiano cambia en una derivada total ya que$\delta\mathcal{L}=0$). Entonces obtenemos

$$\begin{equation} J^\mu=-q\alpha(x)\bar{\psi}\gamma^\mu\psi+F^{\mu\nu}\partial_\nu\alpha(x) \end{equation}$$

Cuando$\alpha(x)=constant$recuperamos la carga eléctrica habitual. Ahora, quiero abordar dos preguntas con respecto a la corriente completa$J^\mu$por arbitrario$\alpha(x)$.

Primera pregunta: Se dice en muchos libros de texto que las simetrías globales dan leyes de conservación que se cumplen en el caparazón, mientras que las simetrías locales dan leyes de conservación que se satisfacen fuera del caparazón. Está claro para la parte global que esto es cierto: la corriente es solo (configuración$\alpha=1$)

$$\begin{equation} J^\mu|_{\alpha=1}=-q\bar{\psi}\gamma^\mu \psi \end{equation}$$

Dado que la ecuación de movimiento para los campos de norma es

$$\begin{equation} \partial_\nu F^{\mu\nu} =-q\bar{\psi}\gamma^\mu \psi \end{equation}$$

eso lo conseguimos inmediatamente$\partial_\mu J^\mu=\partial_\mu\partial_\nu F^{\mu\nu}=0$. Entonces, el get actual se conserva cuando se satisfacen los EoM. Ahora, la pregunta es: ¿Cómo comprobamos que$J^\mu$es idénticamente cero fuera de la cáscara o que$\partial_\mu J^\mu$es cero fuera de la cáscara?

Segunda pregunta: si seguimos trabajando en la corriente completa, podemos usar la regla de Leibniz para obtener

$$\begin{equation} J^\mu=-q\alpha(x)\bar{\psi}\gamma^\mu\psi+\partial_\nu\big[F^{\mu\nu}\alpha(x)\big]-\partial_\nu F^{\mu \nu}\alpha(x) \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ =\alpha(x)\Big[-q\bar{\psi}\gamma^\mu\psi-\partial_\nu F^{\mu \nu}\Big]+\partial_\nu\big[F^{\mu\nu}\alpha(x)\big] \end{equation}$$

Ahora bien, si aplicamos la EoM, el primer término desaparece. Nos quedamos con una derivada total. Si encontramos la carga total en un volumen dado$V$obtenemos

$$\begin{equation} Q=\int_V J^0 d^3x = \int_V \partial_\nu\big[F^{0 \nu}\alpha(x)\big] d^3x= \int_S \vec{E}\cdot \hat{n} \ \alpha(x) dS \end{equation}$$

Ahora bien, si el volumen que elegimos es todo el universo y si el campo eléctrico y la condición de calibre$\alpha(x)$decae muy bien hasta el infinito (ver mi otra pregunta donde pregunto por qué$\alpha(x)$necesita decaer en el infinito [1]), entonces la carga total en el universo es cero. Sin embargo, eso no significa que esta simetría no sea real o no sea útil. También podría elegir cualquier otro volumen y obtener una ley de conservación perfectamente funcional para una nueva cantidad cuya carga es el campo eléctrico en el límite del volumen deseado ponderado por una función arbitraria$\alpha(x)$. Entonces la pregunta es: ¿ Por qué esta cantidad conservada no es física?

[1] ¿Por qué requerimos que la condición de calibre$\alpha(x)$cae en el infinito?