Con la palabra clásica queremos decirℏ= 0
, y usaremos las convenciones de Ref. 1.
La densidad lagrangiana para la teoría de Maxwell con varios contenidos de materia es1
L = Lmaxwell _ _ _ _ _ _+Lasunto _ _ _ _ _,(1)
Lmaxwell _ _ _ _ _ _ = − 14Fμ νFμ ν,(2)
Lasunto _ _ _ _ _ = LQ E Dasunto _ _ _ _ _+Lescalar Q E D _ _ _ _ _asunto _ _ _ _ _+ … ,(3)
LQ E Dasunto _ _ _ _ _ : = Ψ¯¯¯¯( yoγmDm− metro ) Ψ ,(4)
Lescalar Q E D _ _ _ _ _asunto _ _ _ _ _ : = − ( Dmϕ)†Dmϕ -metro2ϕ†ϕ -λ4(ϕ†ϕ)2,(5)
con derivada covariante
Dm = dm− yo miAm,(6)
y con la convención de signos de Minkowski (-,+,+,+). (Aquí somos demasiado perezosos para denotar varias masas de materia
metro
y cargos
mi
diferente.) Las ecuaciones de movimiento de la materia (eom) son
( yoγmDm− m ) Ψ ≈metro 0 ,DmDmϕ ≈metro metro2ϕ +λ2ϕ†ϕ2,… .(7)
(Los≈metro
símbolo significa igualdad módulo materia eom, es decir, una igualdad en el caparazón.)
La transformación de calibre fuera de la carcasa global infinitesimal es
dAm = 0 , dΨ = - yo ϵ Ψ , dΨ¯¯¯¯ = yo ϵ Ψ¯¯¯¯,
dϕ = - yo ϵ ϕ , dϕ† = yo ϵ ϕ†,… ,dL =0, (8)
donde el parámetro infinitesimalϵ
no depende deX
.
La corriente de Noether es la eléctrica.4
-Actual2
jm = mi Ψ¯¯¯¯γmΨ - yo mi {ϕ†Dmϕ − (Dmϕ)†ϕ } + … .(9)
El primer teorema de Noether es un teorema sobre la teoría clásica de campos. Produce una ecuación de continuidad en la capa3
dmjm ≈metro 0.(10)
Por lo tanto la carga eléctrica
Q = ∫ d3X j0(11)
se conserva en la concha.
Referencias:
- M. Srednicki, QFT.
--
1
Nótese que la densidad lagrangiana de la materiaLasunto _ _ _ _ _
puede depender del campo de calibreAm
2
Curiosamente, la electricidad4
-Actualjm
depende del potencial del calibreAm
en caso de materia escalar QED.
3
Tenga en cuenta que la prueba anterior de la ecuación de continuidad (10) a través del primer teorema de Noether (como solicitó OP) nunca usa las ecuaciones de Maxwell.
FraSchelle
qmecanico
Zoe Rowa
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