Corrientes conservadas en electrodinámica cuántica

Question

Corrientes conservadas en electrodinámica cuántica

Física
teoría de campo
electromagnetismo
invariancia de calibre
teorema de noethers
formalismo lagrangiano

MKO

Un teorema general de Noether en la teoría de campos dice que una simetría infinitesimal de la acción conduce a una corriente conservada $j^\mu$ , es decir $\partial_\mu j^\mu=0$ .

A continuación, me gustaría considerar una generalización menor de la siguiente situación bien conocida en QED. La densidad lagrangiana en QED es

L = \bar{ψ} (i γ^{m} (\partial_{m} + i mi A_{m}) - metro) ψ) - \frac{1}{4} F_{m v} F^{m v} .

$\mathcal{L}=\bar\psi (i\gamma^\mu(\partial_\mu+ieA_\mu)-m)\psi)-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}.$

L

$\mathcal{L}$ es invariante bajo la simetría global

\begin{array}{rcl} ψ \to (1 + i mi ϵ) ψ, \\ \bar{ψ} \to (1 - i mi ϵ) \bar{ψ} \\ A_{m} \to A_{m}, \end{array}

$\begin{eqnarray} \psi\to (1+ie\epsilon)\psi,\\ \bar\psi\to (1-ie\epsilon)\bar\psi\\ A_\mu\to A_\mu, \end{eqnarray}$ dónde

ϵ

$\epsilon$ es un parámetro infinitesimal. Es bien sabido que la aplicación del teorema de Noether conduce a corrientes conservadas

j^{m} = - mi \bar{ψ} γ^{m} ψ .

$j^\mu=-e\bar\psi\gamma^\mu\psi.$ El operador

Q = \int d^{3} x j^{0} (x)

$Q=\int d^3x j^0(x)$ se interpreta como operador de carga eléctrica y conmuta con el hamiltoniano.

Sin embargo, es igualmente bien conocido que $\mathcal{L}$ es invariante bajo transformaciones locales más generales. Por lo tanto, se podría intentar construir una corriente de Noether para cada una de esas transformaciones. Fijar con mayor precisión una función arbitraria $f(x)$ . Entonces $\mathcal{L}$ es invariante bajo

\begin{array}{rcl} ψ \to (1 + i mi F ϵ) ψ, \\ \bar{ψ} \to (1 - i mi F ϵ) \bar{ψ}, \\ A_{m} \to A_{m} - (\partial_{m} F) ϵ, \end{array}

$\begin{eqnarray} \psi\to (1+ief\epsilon)\psi,\\ \bar\psi\to (1-ief\epsilon)\bar\psi,\\ A_\mu\to A_\mu-(\partial_\mu f)\epsilon, \end{eqnarray}$ donde otra vez

ϵ

$\epsilon$ es un parámetro infinitesimal. (Observe que la transformación anterior corresponde a

f \equiv 1

$f\equiv 1$ .) Es fácil calcular la corriente de Noether:

j^{m} = - F mi (\bar{ψ} γ^{m} ψ) + \partial_{v} F (\partial^{m} A^{v} - \partial^{v} A^{m}) .

$j^\mu=-fe(\bar\psi\gamma^\mu\psi)+\partial_\nu f(\partial^\mu A^\nu-\partial^\nu A^\mu).$

¿Esta última corriente tiene alguna interpretación física? ¿Juega algún papel en la teoría? De manera más general, en cualquier teoría de calibre (por ejemplo, QCD) se pueden obtener corrientes similares para cualquier transformación de calibre. ¿Son útiles?

AGREGADO. Permítanme agregar un comentario para hacer mi pregunta más precisa. Cuando se tiene un grupo de Lie que preserva la acción, la aplicación del teorema de Noether y la construcción de operadores de carga usando estas corrientes conducen presumiblemente a una representación del álgebra de Lie de este grupo (por ejemplo, este es el caso con el grupo de Poincaré, simetrías internas y más generalmente con supersimetrías). Por lo tanto, si el grupo de calibre conserva la acción, uno esperaría que su álgebra de Lie actúe sobre el espacio de Hilbert de la teoría. En el caso de QED, se obtendría una representación en el espacio de Hilbert de la teoría del álgebra de Lie conmutativa (de dimensión infinita) de funciones de valor real en $\mathbb{R}^{3+1}$ . Me pregunto si este es realmente el caso. Lo que he visto en la literatura es solo un operador de carga $Q=-e\int d^3x \cdot \bar\psi(x)\gamma^0\psi(x)$ correspondiente a la corriente $-e\bar\psi\gamma^\mu\psi$ que corresponde a la rotación con la fase constante que mencioné primero en el post.

qmecanico

Posibles duplicados: physics.stackexchange.com/q/112367/2451 y enlaces allí.

MKO

@Qmechanic: Gracias, la referencia está relacionada con mi pregunta, pero no la responde: no hay discusión sobre el significado físico y las aplicaciones de las corrientes construidas.

Respuestas (2)

Corrientes conservadas en electrodinámica cuántica

Posibles duplicados: physics.stackexchange.com/q/112367/2451 y enlaces allí.
@Qmechanic: Gracias, la referencia está relacionada con mi pregunta, pero no la responde: no hay discusión sobre el significado físico y las aplicaciones de las corrientes construidas.

Mario I Caicedo · Answer 1

Dulce pregunta.

Por favor, permíteme decir que las transformaciones infinitesimales globales que escribes al principio no son más que las formas infinitesimales de las siguientes transformaciones globales. $U(1)$ transformación.

Ahora, el lagrangiano que muestra es trivialmente invariante bajo tales transformaciones globales, pero también es invariante bajo las locales:

ψ \to {mi}^{i mi Λ (X)} ψ,

$\psi\rightarrow{}e^{ie\Lambda(x)}\psi\,,$

y algo similar para $\bar{\psi}$ más el adicional:

A_{m} \to A_{m} - \partial_{m} Λ

$A_\mu\rightarrow{}A_\mu-\partial_\mu\Lambda$

dónde $\lambda$ ahora es una función (por favor olvide y corrija cualquier signo tonto y errores de factores de i).

De hecho, el lagrangiano que le interesa generalmente se obtiene de la siguiente manera, primero observa el lagrangiano de Dirac

L_{D} = \bar{ψ} [i γ^{m} \partial_{m} - metro] ψ

${\cal{L}}_D=\bar{\psi}\left[i\gamma^\mu\partial_\mu-m\right]\psi$

y observe que es invariante bajo el global $U(1)$ transformaciones. Luego, pregúntese qué sucede si piensa en transformaciones locales y se da cuenta de que el lagrangiano de Dirac ya no es invariante por la sencilla razón de que la derivada representa un término adicional para el $U(1)$ factor. Luego salta a un intento de recuperar la simetría modificando el operador derivado por lo mínimo que pueda pensar, agregando un campo vectorial y rezando para que esta suma restaure la simetría. De hecho, la simetría se recupera si impone que el campo vectorial $A_\mu$ se transforma como $A_\mu\rightarrow{}A_\mu-i\partial_\mu\Lambda$ (De nuevo, podría estar cometiendo errores de señas porque es muy tarde en la noche... JAJAJA, pero estoy seguro de que los corregirás).

Finalmente piensas... "HEY, he introducido un nuevo campo (el campo vectorial) y me encantaría que tuviera una dinámica física también, para que el sistema fuera cerrado. Pero la regla de transformación que acabo de encontrar es exactamente lo que encontramos cuando estudiamos electrodinámica, así que agregaré el lagrangiano FF electromagnético al campo de Dirac puro original para ver qué sucede".

Lo que obtienes es el Lagrangiano con el que comenzaste y, por comparación directa con la electrodinámica estándar, obtienes la interpretación de que $\bar{\psi}\gamma^\mu\psi$ es la corriente electromagnética cuatro, y por lo tanto, se ve obligado a considerar $\bar{\psi}\gamma^0\psi$ como la densidad de carga eléctrica.

Todavía hay más en esto. Desde el punto de vista matemático, $A_\mu$ es la conexión de un principal $U(1)$ bulto (preguntar a Juan Carlos) y $\psi$ es una sección de un paquete asociado. El local $U(1)$ Las funciones de las que hemos estado hablando son las "funciones de transición" del paquete y las reglas de transformación, las "transformaciones guge".

En cuanto a su cálculo, es dulce como ya le dije, pero lo que hizo fue (hasta las condiciones de contorno) la prueba de que la acción de la electrodinámica acoplada con un campo de Dirac (podría representar electrones y sus antipartículas) es calibre invariante ( es decir, invariante bajo las transformaciones locales)

También está la pregunta de por qué diablos nos interesamos en las transformaciones locales en primer lugar. Bueno, me encanta imaginar a muchos físicos haciendo experimentos en diferentes laboratorios, está claro que si están observando la misma física, todos intentarían describir lo que cualquiera de ellos ve como partículas cargadas y sus antipartículas deberían ser descritas por Dirac. ser descrito por un campo de Dirac, la mecánica cuántica dice que la física debe ser invariante bajo cambios de fase constantes, es decir, global $U(1)$ transformaciones, pero es muy, muy difícil imaginar que todos los físicos en sus respectivos laboratorios elijan exactamente el mismo cambio de fase entre sí, es mucho más razonable pensar que cada uno de ellos elige una fase como le plazca (local $U(1)$ transformaciones)

Espero haber podido ser de alguna ayuda.

Atentamente

mario

Muchas gracias por tu nota. Todavía hay algo que no entiendo. Hice mi pregunta más precisa: vea mi publicación, la parte "AÑADIDO".

usuario227951 · Answer 2

Creo que en QED generalmente se fija un indicador antes de cuantificar (por ejemplo, $A^0=0$ o $A^3=0$ ; lo mismo puede decirse de la cuantización de Gupta-Bleuler de un campo EM libre). Esto destruye muchas de las simetrías de calibre del Lagrangiano, por lo que no se puede construir una corriente de Noether para ellas.

Corrientes conservadas en electrodinámica cuántica

MKO

qmecanico

MKO

Respuestas (2)

Mario I Caicedo

MKO

usuario227951

Interacción para QED con partículas escalares cargadas

Segundo teorema de Noether e identidades de calibre local

¿Cómo puedo probar que la carga de Noether representa realmente la conservación de la carga eléctrica?

EM clásico: vínculo claro entre la simetría de calibre y la conservación de la carga

Introducción del vector potencial AμAμA_{\mu} para la invariancia de calibre local del campo escalar complejo lagrangiano [duplicado]

¿Cómo encontrar las transformaciones continuas que dejan invariante la acción?

¿Importa un factor constante en la definición de la corriente de Noether?

Invariancia conforme de la acción del campo electromagnético.

¿Es esta teoría equivalente a QED?

¿La teoría de Maxwell es calibre invariante en variedades no triviales?