¿Importa un factor constante en la definición de la corriente de Noether?

I) Por simplicidad, abordemos la pregunta de OP en el contexto de la mecánica de puntos donde$q^i$son coordenadas de posición generalizadas en alguna variedad$M$[en lugar de considerar la teoría de campos con campos$\phi^{\alpha}(x)$]. La pregunta de OP tiene sus raíces en la diferencia entre

1. por un lado, una variación infinitesimal

   $$\tag{1} q^i~\rightarrow \widetilde{q}^i~=~ q^i+\delta q^i$$ de las coordenadas de posición generalizadas, o de manera equivalente, $$\tag{2} \delta q^ ~:=~ \widetilde{q}^i-q^i;$$

2. y por otro lado, el de un generador/elemento de álgebra de Lie/campo vectorial

   $$\tag{3} Y~=~Y^i\frac{\partial}{\partial q^i},\qquad Y^i~=~Y^i(q),$$ que no es infinitesimal (aunque$Y$se refiere a veces confusamente como un 'generador infinitesimal' en la literatura).

Ambos conceptos$\delta$y$Y$son derivaciones lineales que satisfacen la regla de Leibniz , y la interrelación entre las dos viene dada por

$$\tag{4} \delta q^i~=~\epsilon Y^i,$$

dónde$\epsilon$en la ec. (4) es un parámetro infinitesimal. El concepto matemático de un campo vectorial $Y$está ligado de manera biyectiva al concepto de flujo$^1$

$$\tag{5} \sigma:~]\!-\!c,c[ ~\times~ M~\to~ M, \qquad ]\!-\!c,c[ ~\subseteq~ \mathbb{R},$$

dónde

$$\tag{6} \frac{d}{d\epsilon}\sigma^i(\epsilon,q)~=~Y^i(\sigma(\epsilon,q)), \qquad\sigma^i(\epsilon=0,q)~=~q^i.$$ Un flujo $\sigma$satisface $$\tag{7} \sigma^i(\epsilon,\sigma(\epsilon^{\prime},q))~=~\sigma^i(\epsilon+\epsilon^{\prime},q).$$ Tenga en cuenta que en la ec. (7), se entiende que $\epsilon$y $\epsilon^{\prime}$son números reales en el intervalo $]\!-\!\frac{c}{2},\frac{c}{2}[ \subseteq \mathbb{R}$, y no infinitesimal.

II) La carga (desnuda) de Noether

$$\tag{8} Q ~=~p_i Y^i$$

es (en este caso) impulso

$$\tag{9} p_i ~:= ~\frac{\partial L}{\partial \dot{q}^i}$$

generador de tiempos$Y^i$. En particular, la definición (5) de la carga de Noether$Q$no depende de la$\epsilon$parámetro.

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$^1$Ignoramos la posibilidad de que el dominio$]\!-\!c,c[$podría depender de la posición inicial$q\in M$.

Hasta cierto punto, la ambigüedad es solo una cuestión de notación. Algunas personas escribirían una transformación genérica de un parámetro como

$$\phi(x) \to \phi(x) + \alpha\delta\phi(x) + \mathcal O(\alpha^2)$$ de modo que $\delta\phi(x)$es el coeficiente del pequeño parámetro $\alpha$como con expresiones en cálculo ordinario como $$f(x+\alpha) = f(x) + \alpha f'(x) + \mathcal O(\alpha^2)$$ Con esta notación, la transformación $$\phi(x) \to \phi(x) + \alpha$$ tendría $\delta\phi(x) = 1$, y en este caso recuperarías el resultado de Peskin. El cambio en la notación es realmente solo una cuestión de gusto cuando se trabaja con familias de transformaciones de un parámetro. Como usted señala, para cualquier número real $\alpha$, ambos $\alpha\partial_\mu\phi$y $\partial_\mu\phi$se conservan y sus ecuaciones de conservación son las mismas.

Apéndice. Cuando se trata de eso, en un contexto físico, todo lo que realmente importa es la clase de equivalencia correspondiente a todas las expresiones para una cantidad conservada que difieren en un factor multiplicativo constante, distinto de cero (ya que sus ecuaciones de conservación correspondientes son las mismas), por lo que el problema aquí es realmente sólo una cuestión de semántica.

¡Salud!