¿Qué ley de conservación corresponde a esta simetría local U(1)U(1)U(1) del CCR?

1) Si interpretamos la transformación de OP$^1$como una transformación pasiva , es decir, un mero cambio de coordenadas/descripción que no altera el sistema, entonces no hay ley de conservación.

2) Entonces, a continuación, interpretemos la transformación de OP como una transformación activa.

Para que un sistema tenga simetría, su acción$S$(o más precisamente, en este contexto mecánico cuántico, su operador hamiltoniano$\hat{H}$) debe respetar esta simetría. La ley de conservación correspondiente dependería de la forma específica de Hamiltonian$\hat{H}$. Esto es todo lo que tenemos que decir sobre QM.

3) Finalmente, en un contexto teórico de campo, podemos interpretar la transformación de OP

$$\tag{1} \frac{\hbar}{i} {\bf \nabla} ~\longrightarrow~ e^{-i\Lambda({\rm r})}\frac{\hbar}{i} {\bf\nabla} e^{i\Lambda({\rm r})}$$

como una transformación de calibre pura en una teoría electromagnética con fuerza de campo electromagnético cero.

Cuando se interpreta como una teoría EM, por un lado, la simetría de calibre global conduce a la conservación de la carga eléctrica, cf. El primer teorema de Noether . Consulte también esta pregunta de Phys.SE.

Por otro lado, no hay una cantidad conservada asociada con la simetría de calibre local per se, cf. Segundo teorema de Noether . (Su identidad fuera de la cáscara de Noether es una trivialidad. Consulte también esta pregunta de Phys.SE).

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$^1$La transformación de OP está relacionada con la elección de los factores de fase en las superposiciones entre los estados propios de posición y momento en QM, cf. esta publicación Phys.SE.