¿Cuál es el significado matemático y la condición para que la carga de Noether se conserve localmente?

Una cantidad$Q$con una densidad$\rho(t,x)$(tal que$Q(V) = \int_V \rho(t,x)\mathrm{d}x$es la cantidad de$Q$adentro$V$) se conserva globalmente si la cantidad global de$Q$es constante, es decir$\int\rho(x)$no depende del tiempo si integramos sobre todo el espacio$M$:

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int_M \rho(t,x)\mathrm{d}x=0\tag{1}$$ Tal cantidad se conserva localmente si para cada volumen $V$tenemos eso $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\rho = \nabla j,\tag{2}$$ dónde $j$es la densidad de corriente de $Q$, es decir, la función dice cuánto de$Q$cruza una unidad de área dada en una unidad de tiempo dada .

El teorema de Noether dice que para cada cuasi-simetría de la acción existe una cantidad conservada localmente. La noción de "conservación local" no está relacionada con la noción de "simetrías locales" (es decir, simetrías de calibre).

Existe una noción ligeramente diferente de conservación local frente a global en el contexto de, por ejemplo, la relatividad general (lo siguiente está parafraseado de este artículo de Baez , para obtener más información sobre la conservación global de la energía en GR, consulte esta pregunta y sus preguntas vinculadas): Aquí, a menudo encontrará personas que afirman que algo (como la energía o el impulso) se conserva localmente pero no globalmente, y lo que significa es que mientras que la declaración diferencial como$\dot{\rho} = \nabla j$tiene, su formulación integral clásicamente equivalente

$$\int_V \rho(t_1,x)\mathrm{d}x - \int_V \rho(t_2,x)\mathrm{d}x = \int_{\partial V}\int_{t_0}^{t_1} \rho(t,x)\mathrm{d}t\mathrm{d}S\tag{3}$$ no aguanta si $\rho,Q$no son escalares, sino vectores/tensores como en el caso del tensor energía-momento. En este caso, la ecuación diferencial es un enunciado "local" y la formulación integral es un enunciado "global".