¿Infinitas corrientes conservadas en cualquier QFT?

Question

¿Infinitas corrientes conservadas en cualquier QFT?

Valentina

Entonces tengo la siguiente curiosidad: Considere por ejemplo, en QED, la cantidad

j^{m} \equiv \partial_{v} (λ (X) F^{m v})

$j^\mu\equiv\partial_\nu (\lambda(x) F^{\mu \nu})$

dónde $\lambda(x)$ es una función escalar arbitraria del espacio-tiempo, construida a partir de elementos de la teoría, por ejemplo

λ (X) = A_{m} A^{m} F_{ρ σ} F^{ρ σ}

$\lambda(x)=A_\mu A^\mu F_{\rho \sigma} F^{\rho \sigma}$

o cualquier otra cosa que se te ocurra. Entonces, desde $F^{\mu \nu}$ es antisimétrico, $\partial_\mu j^\mu=0$ idénticamente

De hecho, esto se puede generalizar a cualquier teoría; construya a partir de varios elementos un tensor antisimétrico de dos rangos y un escalar, multiplíquelos y habrá una corriente conservada correspondiente para cualquier elección que haga. Si estas corrientes no son triviales (p. ej., solo dan cargas que se desvanecen), entonces parece que todas las teorías dan un panorama infinito de corrientes conservadas. ¿Es esto así? ¿Me estoy perdiendo de algo? ¿Cómo se justifica esto lógicamente?

wah

Tal vez esto sea obvio, pero ¿por qué es

\partial_{μ} j^{μ} = (\partial_{μ} λ) (\partial_{ν} F^{μ ν}) = 0

$\partial_\mu j^\mu=(\partial_\mu\lambda)(\partial_\nu F^{\mu\nu}) = 0$ ¿necesariamente?

Valentina

Es

\partial_{μ} \partial_{ν} (λ F^{μ ν}) = - \partial_{ν} \partial_{μ} (λ F^{ν μ}) = - \partial_{μ} \partial_{ν} (λ F^{μ ν})

$\partial_\mu \partial_\nu (\lambda F^{\mu \nu})=-\partial_\nu \partial_\mu (\lambda F^{\nu \mu})=-\partial_\mu \partial_\nu (\lambda F^{\mu \nu})$ donde en la última igualdad acabo de cambiar el nombre de los índices ficticios.

wah

Estoy de acuerdo que

(\partial_{μ} \partial_{ν} λ) F^{μ ν} = 0

$(\partial_\mu\partial_\nu \lambda)F^{\mu\nu}=0$ y

λ \partial_{μ} \partial_{ν} F^{μ ν} = 0

$\lambda \partial_\mu\partial_\nu F^{\mu\nu}=0$ . Por lo que entonces

\partial_{μ} \partial_{ν} (λ F^{μ ν}) = (\partial_{μ} λ) (\partial_{ν} F^{μ ν})

$\partial_\mu\partial_\nu(\lambda F^{\mu\nu})=(\partial_\mu\lambda)(\partial_\nu F^{\mu\nu})$ . No me queda claro que la última cantidad sea siempre idéntica a 0.

Respuestas (2)

¿Infinitas corrientes conservadas en cualquier QFT?

Tal vez esto sea obvio, pero ¿por qué es $\partial_\mu j^\mu=(\partial_\mu\lambda)(\partial_\nu F^{\mu\nu}) = 0$ ¿necesariamente?
Es $\partial_\mu \partial_\nu (\lambda F^{\mu \nu})=-\partial_\nu \partial_\mu (\lambda F^{\nu \mu})=-\partial_\mu \partial_\nu (\lambda F^{\mu \nu})$ donde en la última igualdad acabo de cambiar el nombre de los índices ficticios.
Estoy de acuerdo que $(\partial_\mu\partial_\nu \lambda)F^{\mu\nu}=0$ y $\lambda \partial_\mu\partial_\nu F^{\mu\nu}=0$ . Por lo que entonces $\partial_\mu\partial_\nu(\lambda F^{\mu\nu})=(\partial_\mu\lambda)(\partial_\nu F^{\mu\nu})$ . No me queda claro que la última cantidad sea siempre idéntica a 0.

qmecanico · Answer 1

OP escribió (v2):

Si estas corrientes no son baladíes [...]

De hecho, la mayoría $^1$ de las corrientes de OP son triviales $^2$ . Los cargos correspondientes

q := \int_{V} d^{3} X j^{0} = \int_{V} d^{3} X \sum_{i = 1}^{3} d_{i} (λ F^{i 0}) = \int_{\partial V} d^{2} X (\dots) = 0

$Q ~:=~ \int_V d^3x~ j^0~=~\int_V d^3x~\sum_{i=1}^3d_i(\lambda F^{i0})~=~\int_{\partial V} d^2x~(\ldots) ~=~0$ desaparecer si los componentes

λ F^{i 0}

$\lambda F^{i0}$ caer lo suficientemente rápido

o (r^{- 2})

$o(r^{-2})$ en el infinito espacial

\partial V

$\partial V$ .

--

$^1$ El caso constante $\lambda=1$ corresponde a la corriente eléctrica conservada, cf. Las ecuaciones de Maxwell. Un término no constante en $\lambda$ normalmente cae demasiado rápido en el infinito espacial $\partial V$ producir una ley de conservación no trivial.

$^2$ Sin embargo, en una teoría de calibre general, la segunda identidad de Noether de hecho conduce a la existencia de un superpotencial con una jerarquía infinita de cargas superficiales conservadas en el límite espacial, cf. por ejemplo, esta publicación de Phys.SE.

Entonces parece ser, por la misma razón, que cualquier corriente creada usando un derivado tiene cargas triviales. De todos modos, creo que esto lo aclara, gracias.
Sin embargo, ¿qué tan grande o pequeño es "la mayoría", de todos modos? ¿Es "la mayoría" como en "todo menos un número finito", o "la mayoría" como en el sentido de algunos matemáticos como "de medida cero" lo que aún podría dejar un número incontablemente infinito de posibles cantidades no triviales ?

JG · Answer 2

si tenemos $\partial_\nu F^{\mu\nu}=0$ on-shell, como sucede, por ejemplo, en EM sin una fuente de corriente, $F^{\mu\nu}X_\nu$ se conserva siempre $\partial_\mu X_\nu$ es simétrica, como sucede por ejemplo con $X_\nu=\partial_\nu\lambda$ . No todas estas corrientes conservadas son triviales. Ver Sec. 2.1.2 de mi tesis , que generaliza esto al espacio-tiempo curvo.

¿Infinitas corrientes conservadas en cualquier QFT?

Valentina

wah

Valentina

wah

Respuestas (2)

qmecanico

Valentina

el_simpatizante

qmecanico

JG

¿Carga no conservada en QED escalar? [duplicar]

Leyes de conservación infinitas aplicando el teorema de Noether a la simetría local U(1)U(1)U(1) de QED

EM clásico: vínculo claro entre la simetría de calibre y la conservación de la carga

¿Importa un factor constante en la definición de la corriente de Noether?

¿Es esta teoría equivalente a QED?

Primer teorema de Noether y demostración clásica de la conservación de la carga eléctrica

En 3D N=2N=2{\cal N}=2 SUSY, el multiplete lineal contiene una corriente global. ¿Cómo se relaciona esto con el campo de calibre?

¿Cuál es la simetría responsable de la preservación/conservación de las cargas eléctricas?

Corrientes conservadas en electrodinámica cuántica

Ley de conservación del color actual en las teorías de Yang-Mills