¿Carga no conservada en QED escalar? [duplicar]

Dado que la conservación de la carga parece ser un concepto bien conocido, espero que me esté perdiendo algo y que la conclusión sea incorrecta. Sin embargo, no he podido refutar esto. Permítanme resumir la situación de la siguiente manera.

Descripción general

Considere el siguiente Lagrangiano para escalar QED y campo$\varphi$:

$$\begin{align} \mathcal{L}=\overline{D_\mu\varphi}D^\mu\varphi-U(|\varphi|^2)-\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu},\tag{1} \end{align}$$ dónde $$D_\mu=\partial_\mu-iA_\mu\varphi.\tag{2}$$

Un conjunto de ecuaciones de Euler-Lagrange es:

$$\begin{align} \frac{\delta\mathcal{L}}{\delta A_\mu}=i(\overline\varphi\partial_\mu\varphi-\varphi\partial_\mu\overline\varphi)+2A^\mu|\varphi|^2+\partial_\nu F^{\mu\nu}=0.\tag{3} \end{align}$$

Si consideramos la transformación de simetría de calibre global$\varphi\to\varphi+i\epsilon\varphi$, entonces el primer teorema de Noether da la siguiente ley de conservación (para carga, véase, por ejemplo, [1] ) sobre soluciones de$\delta\mathcal{S}=0$:

$$\begin{align} \partial_\mu j^\mu:=\partial_\mu\left[i(\overline\varphi\partial_\mu\varphi-\varphi\partial_\mu\overline\varphi)+2A^\mu|\varphi|^2\right]=0.\tag{4} \end{align}$$

Pregunta: ¿la integral de la densidad de carga$j^0$desaparecer de forma idéntica? Si es así, ¿significa esto que no se conserva nada?

Mi intento de respuesta: Sí. Para ver esto, integramos la ecuación de continuidad sobre$\mathbb{R}^3$y aplicar el teorema de Gauss:

$$\begin{align} \partial_0Q:=\partial_0\int_{\mathbb{R}^3}j^0 d^3 x=-\sum_{\mu=1}^3\int_{R^2} j^\mu \bigr\rvert_{|x_\mu|\to\infty}d^2x.\tag{5} \end{align}$$ Aquí decimos que $Q=\int j^0$es la carga total.

Suponemos que los campos$\varphi$y$F$desaparecer como$\max_{\mu\ge 1}(x_\mu)\to\infty$. Esta es una condición límite natural para los observables físicos. Entonces los flujos$j^\mu$desaparecer claramente en este límite. Así, nuestra ley de conservación se convierte en:

$$\begin{align} \partial_0\int_{\mathbb{R}^3}j^0 d^3 x=0.\tag{6} \end{align}$$ Pero $$j^0=\delta\mathcal{L}/\delta A_0-\partial_\nu F^{0\nu}=-\partial_\nu F^{0\nu}\tag{7}$$ en soluciones, por lo que podemos reescribir de manera equivalente la integral de carga usando el Teorema de Gauss de la siguiente manera: $$\begin{align} Q=-\sum_{\nu\ge 1}\int_{\mathbb{R}^2}F^{0\nu}\bigr|_{|x_\nu|\to\infty} d^3 x.\tag{8} \end{align}$$ Como los campos se anulan en el infinito, obtenemos: $$\begin{align} Q\equiv 0.\tag{9} \end{align}$$

En otras palabras, si es correcto, entonces esto muestra que la carga para este sistema es idénticamente cero y que nada se conserva (parece incorrecto llamar$d0/dt\equiv 0$una ley de conservación más que una tautología/identidad).

enlaces relacionados

Hay algunas otras preguntas que los usuarios hicieron que tienen alguna relación con esto. Sin embargo, no creo que la conservación de la integral de carga real se haya abordado en ninguna parte. Uno muestra que la densidad de carga se puede reescribir como una divergencia total, de donde se sigue el argumento, por supuesto. Este artículo incluye el hecho de que no existe una ley de conservación para la simetría de calibre local, pero no aclara esto para el caso de simetría global (que debería ser un caso especial de los resultados locales). Otro da una visión general de la conservación de la carga.

Editar:

Otra pregunta también analiza la conservación de carga, pero parece estar más relacionada con la interpretación de la densidad de carga. En cambio, estoy preguntando si la densidad se conserva en absoluto.