¿La teoría de Maxwell es calibre invariante en variedades no triviales?

Question

¿La teoría de Maxwell es calibre invariante en variedades no triviales?

miggle

He hecho mi parte de QFT, pero como una persona mayormente de materia condensada, no estoy familiarizado con ninguna discusión sobre cómo la invariancia de calibre de la teoría de Maxwell podría depender de la variedad en la que se define. Me imagino que esto se ha discutido en alguna parte, pero no puedo encontrar ninguna discusión clara en línea.

Mi pregunta es la siguiente: sabemos que el Maxwell Lagrangiano con fuentes es

L_{METRO} = - \frac{1}{4} F^{m v} F_{m v} - A_{m} j^{m}

$\mathcal{L}_{M} = -\frac{1}{4}F^{\mu\nu}F_{\mu\nu}-A_{\mu}J^{\mu}$

Las ecuaciones de movimiento resultantes son, por supuesto,

\partial_{m} F^{m v} = j^{v} \Rightarrow \partial_{v} j^{v} = 0

$\partial_{\mu}F^{\mu\nu}=J^{\nu} \Rightarrow \partial_{\nu}J^{\nu}=0$

Bajo una transformación de calibre $A_{\mu}\rightarrow A_{\mu}+\partial_{\mu}\Lambda$ , la intensidad de campo es invariante, por lo que tenemos

L_{METRO}^{'} = L_{METRO} - (\partial_{m} Λ) j^{m} = L_{METRO} - \partial_{m} (Λ j^{m})

$\mathcal{L}_{M}'=\mathcal{L}_{M}-\left(\partial_{\mu}\Lambda\right)J^{\mu} = \mathcal{L}_{M}-\partial_{\mu}\left(\Lambda J^{\mu}\right)$

La historia habitual es que se trata de una derivada total, por lo que no tenemos que preocuparnos si los términos de la frontera se comportan bien en el infinito. Pero, ¿y si definimos nuestra teoría sobre, digamos, una esfera con extensión finita? Entonces, ¿qué sucede? Parece que la historia tiene que modificarse, por mucho que la discusión sobre la invariancia de calibre en la teoría de Chern-Simons se vuelva algo delicada. ¿Puede alguien señalarme una referencia que discuta esto, o tal vez decirme cuál es el problema con mi lógica? Nunca he escuchado una discusión sobre este punto que me parece extraño.

qmecanico

Relacionado: physics.stackexchange.com/q/175047/2451 y enlaces allí.

miggle

@Qmechanic: lo siento, ¿hay una discusión sobre la invariancia del calibre allí? no lo estoy viendo

alex nelson

@mflynn Creo que Qmechanic se refería a la "regla de coma va a punto y coma", que básicamente dice que si promueve todas las derivadas parciales en una ecuación (o teoría) de espacio-tiempo plana a derivadas covariantes (usando la conexión Levi-Civita), entonces la ecuación (o teoría) se generaliza al espacio-tiempo arbitrario. La teoría de Maxwell generalizada al espacio-tiempo arbitrario se analiza en los enlaces proporcionados por Qmechanic. Usando formas diferenciales

A \to A + d Λ

$A\to A + d\Lambda$ porque el calibre hace que la generalización sea aún más inmediata...

miggle

@AlexNelson Correcto, estoy familiarizado con esa historia. Ciertamente estoy de acuerdo en que esto funciona para la teoría libre de fuentes. Pero no puedo ver cómo la promoción de derivadas a derivadas covariantes "absorbe" los términos límite que provienen de las fuentes; Estoy menos preocupado por cómo la geometría afecta la dinámica que por cómo podemos justificar desechar los términos de contorno.

alex nelson

@mflynn Oh, lo siento, mi error. ¿No es que realmente estamos trabajando con el integrando de la acción, que incluye un factor de

\sqrt{| g |}

$\sqrt{|g|}$ ? Entonces uno puede usar la integración por partes y la identidad

\partial_{μ} (\sqrt{| g |} J^{μ}) = \sqrt{| g |} \nabla_{μ} J^{μ}

$\partial_\mu (\sqrt{|g|} J^\mu) = \sqrt{|g|} \nabla_\mu J^\mu$ ...Creo que ha pasado un tiempo desde que miré los detalles sangrientos...

miggle

@AlexNelson Creo que es correcto, creo que el término que proviene de la transformación de calibre se convierte en un derivado total. Pero esto también aparece en la teoría de Chern-Simons (en ese caso, obtienes una derivada total de las transformaciones de calibre incluso cuando no hay fuentes) y allí debes tener mucho cuidado cuando dices que la teoría es invariante de calibre. Si lo define en una variedad no trivial, es posible que ya no sea invariante de calibre, y esta es una gran parte de la historia de la cuantización del nivel de Chern-Simons al explicar el efecto Hall cuántico entero.

Conifold

La invariancia de calibre se vuelve delicada en la teoría de Chern-Simons cuando desea cuantificarla. Entonces hay una anomalía de calibre, y la teoría cuantificada no es invariante bajo las transformaciones de calibre global (necesita factores de corrección). Hay un problema similar con la teoría de Maxwell conocido como el efecto Aharonov-Bohm .

miggle

@Conifold Muchas gracias por el comentario. Estoy familiarizado con el efecto Aharanov-Bohm en algunos casos específicos, pero necesitaré pensar más sobre esto. ¿Sigue entrando en juego el efecto Aharanov-Bohm en ausencia de fuentes? Mi intuición es que no, pero quiero estar seguro.

Conifold

Técnicamente, todo lo que necesita es una topología no trivial. Las fuentes crean eso eliminando puntos, pero los cilindros o toros lo tienen sin ninguna fuente. Siempre que tenga bucles no contráctiles en su múltiple, viajar alrededor de ellos puede crear una holonomía no trivial en el grupo de calibre y, por lo tanto, una anomalía de calibre.

Respuestas (2)

¿La teoría de Maxwell es calibre invariante en variedades no triviales?

Relacionado: physics.stackexchange.com/q/175047/2451 y enlaces allí.
@Qmechanic: lo siento, ¿hay una discusión sobre la invariancia del calibre allí? no lo estoy viendo
@mflynn Creo que Qmechanic se refería a la "regla de coma va a punto y coma", que básicamente dice que si promueve todas las derivadas parciales en una ecuación (o teoría) de espacio-tiempo plana a derivadas covariantes (usando la conexión Levi-Civita), entonces la ecuación (o teoría) se generaliza al espacio-tiempo arbitrario. La teoría de Maxwell generalizada al espacio-tiempo arbitrario se analiza en los enlaces proporcionados por Qmechanic. Usando formas diferenciales $A\to A + d\Lambda$ porque el calibre hace que la generalización sea aún más inmediata...
@AlexNelson Correcto, estoy familiarizado con esa historia. Ciertamente estoy de acuerdo en que esto funciona para la teoría libre de fuentes. Pero no puedo ver cómo la promoción de derivadas a derivadas covariantes "absorbe" los términos límite que provienen de las fuentes; Estoy menos preocupado por cómo la geometría afecta la dinámica que por cómo podemos justificar desechar los términos de contorno.
@mflynn Oh, lo siento, mi error. ¿No es que realmente estamos trabajando con el integrando de la acción, que incluye un factor de $\sqrt{|g|}$ ? Entonces uno puede usar la integración por partes y la identidad $\partial_\mu (\sqrt{|g|} J^\mu) = \sqrt{|g|} \nabla_\mu J^\mu$ ...Creo que ha pasado un tiempo desde que miré los detalles sangrientos...
@AlexNelson Creo que es correcto, creo que el término que proviene de la transformación de calibre se convierte en un derivado total. Pero esto también aparece en la teoría de Chern-Simons (en ese caso, obtienes una derivada total de las transformaciones de calibre incluso cuando no hay fuentes) y allí debes tener mucho cuidado cuando dices que la teoría es invariante de calibre. Si lo define en una variedad no trivial, es posible que ya no sea invariante de calibre, y esta es una gran parte de la historia de la cuantización del nivel de Chern-Simons al explicar el efecto Hall cuántico entero.
La invariancia de calibre se vuelve delicada en la teoría de Chern-Simons cuando desea cuantificarla. Entonces hay una anomalía de calibre, y la teoría cuantificada no es invariante bajo las transformaciones de calibre global (necesita factores de corrección). Hay un problema similar con la teoría de Maxwell conocido como el efecto Aharonov-Bohm .
@Conifold Muchas gracias por el comentario. Estoy familiarizado con el efecto Aharanov-Bohm en algunos casos específicos, pero necesitaré pensar más sobre esto. ¿Sigue entrando en juego el efecto Aharanov-Bohm en ausencia de fuentes? Mi intuición es que no, pero quiero estar seguro.
Técnicamente, todo lo que necesita es una topología no trivial. Las fuentes crean eso eliminando puntos, pero los cilindros o toros lo tienen sin ninguna fuente. Siempre que tenga bucles no contráctiles en su múltiple, viajar alrededor de ellos puede crear una holonomía no trivial en el grupo de calibre y, por lo tanto, una anomalía de calibre.

una mente curiosa · Answer 1

Maxwelliana, y de hecho arbitraria de Yang-Mills, la teoría de calibre es de hecho invariante de calibre en todas las variedades. $M$ . Uno puede escribir la acción de una manera manifiestamente geométrica como

S [A] = \int_{METRO} t r (F \land ⋆ F) + t r (A \land ⋆ j)

$S[A] = \int_M \mathrm{tr}(F\wedge{\star} F) + \mathrm{tr}(A\wedge{\star}j)$ y

F = d A + A \land A

$F = \mathrm{d}A + A\wedge A$ , por lo que no es necesario reemplazar las derivadas ordinarias por derivadas covariantes en ninguna parte (recuerde que la derivada exterior

d

$\mathrm{d}$ y los productos de cuña

\land

$\wedge$ siempre son correctamente covariantes porque la antisimetrización en su definición elimina los términos simétricos, estropeando la covarianza de una derivada ordinaria

\partial_{μ} A

$\partial_\mu A$ ).

Ahora, una transformación de calibre es $A\mapsto gAg^{-1} + g^{-1}\mathrm{d}g$ , induciendo $F\mapsto gFg^{-1}$ , por lo que el término cinético es invariante de calibre, y el término de acoplamiento se comporta como

A \land ⋆ j \mapsto gramo A {gramo}^{- 1} \land gramo ⋆ j {gramo}^{- 1} + {gramo}^{- 1} d gramo \land ⋆ j

$A\wedge{\star}j\mapsto gAg^{-1} \wedge g{\star}jg^{-1} + g^{-1}\mathrm{d}g\wedge{\star}j$ Escribiendo

g^{- 1} d g = d χ

$g^{-1}\mathrm{d}g = \mathrm{d}\chi$ para

g = \exp (χ)

$g =\exp(\chi)$ , nos quedamos con comprobar que

\int_{METRO} d x \land ⋆ j = \int_{METRO} d (x \land ⋆ j) - \int_{METRO} x \land d ⋆ j

$\int_M \mathrm{d}\chi\wedge{\star}j = \int_M \mathrm{d}(\chi\wedge{\star}j) - \int_M \chi\wedge\mathrm{d}{\star}j$ se desvanece, lo que de hecho ocurre: el primer término se desvanece por el teorema de Stokes y el hecho de que las variedades no tienen límite, el segundo porque la corriente conservada tiene una divergencia que se desvanece, y

d ⋆ j

$\mathrm{d}{\star}j$ es solo la divergencia de la corriente.

La topología no trivial de la variedad puede tener efectos interesantes (por ejemplo, el efecto Aharonov-Bohm), pero nunca estropea la invariancia de calibre.

¡Ya lo veo! ¡Muchas gracias! No pude ver que el teorema de Stokes nos salvó. Esto tiene mucho sentido: sé que generalmente no nos preocupamos por la pieza de transformación de calibre que proviene de fuentes en la teoría de Chern-Simons, y esto también lo explica. ¡Muy lindo!

JG · Answer 2

La generalización obvia al espacio-tiempo curvo es $F_{\mu\nu}=\nabla_\mu A_\nu-\nabla_\nu A_\mu$ , pero en una teoría libre de torsión como la relatividad general los símbolos de Christoffel se cancelan, dando la fórmula usual con $\partial$ y, por lo tanto, la invariancia de calibre habitual. Tenga en cuenta que si una transformación afecta $\delta S = \int d^n x \partial_\mu V^\mu$ en $n$ espacio-tiempo de Minkowski -dimensional, entonces el caso general multiplica la medida de integración por $\sqrt{|g|}$ y reemplaza el $\partial$ con $\nabla$ , donación

d S = \int d^{norte} X \sqrt{| gramo |} \nabla_{m} V^{m} = \int d^{norte} X \partial_{m} (\sqrt{| gramo |} V^{m}),

$\delta S = \int d^n x \sqrt{|g|}\nabla_\mu V^\mu = \int d^n x \partial_\mu \left( \sqrt{|g|} V^\mu\right),$ que sigue siendo una integral de una derivada total.

Sí, eso estaba claro para mí: mi preocupación era que el término límite no se desvaneciera para una variedad con una extensión espacial finita. La respuesta anterior abordó esta preocupación para mí.
Si bien la teoría permanece invariante de calibre, hay efectos sorprendentes en espacios con topología no trivial. Considere la situación que se muestra en la portada de "Geometría de la física" de Theodore Frankel: el espacio es un cubo con condiciones de contorno periódicas. Un alambre transporta corriente constante desde el centro de la cara inferior hasta el centro de la parte superior (y así de vuelta a través de la cara inferior). La corriente es independiente del tiempo, pero no hay soluciones independientes del tiempo de las ecuaciones de Maxwell en este espacio topológico no trivial.

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