Primer teorema de Noether y demostración clásica de la conservación de la carga eléctrica

Con la palabra clásica queremos decir$\hbar=0$, y usaremos las convenciones de Ref. 1.

La densidad lagrangiana para la teoría de Maxwell con varios contenidos de materia es$^1$

$${\cal L} ~=~{\cal L}_{\rm Maxwell} + {\cal L}_{\rm matter} ,\tag{1}$$

$${\cal L}_{\rm Maxwell}~=~ -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu},\tag{2}$$

$${\cal L}_{\rm matter}~=~{\cal L}_{\rm matter}^{\rm QED}+{\cal L}_{\rm matter}^{\rm scalar QED} + \ldots,\tag{3}$$

$${\cal L}_{\rm matter}^{\rm QED} ~:=~ \overline{\Psi}( i\gamma^{\mu} D_{\mu}-m)\Psi ,\tag{4}$$

$${\cal L}_{\rm matter}^{\rm scalar QED}~:=~ -(D_{\mu}\phi)^{\dagger} D^{\mu}\phi -m^2\phi^{\dagger}\phi -\frac{\lambda}{4} (\phi^{\dagger}\phi)^2,\tag{5}$$

con derivada covariante

$$D_{\mu}~=~d_{\mu}-ieA_{\mu}, \tag{6}$$ y con la convención de signos de Minkowski (-,+,+,+). (Aquí somos demasiado perezosos para denotar varias masas de materia $m$y cargos $e$diferente.) Las ecuaciones de movimiento de la materia (eom) son

$$( i\gamma^{\mu} D_{\mu}-m)\Psi ~\stackrel{m}{\approx}~0, \qquad D_{\mu}D^{\mu}\phi~\stackrel{m}{\approx}~m^2\phi+\frac{\lambda}{2} \phi^{\dagger}\phi^2, \qquad \ldots.\tag{7}$$

(Los$\stackrel{m}{\approx}$símbolo significa igualdad módulo materia eom, es decir, una igualdad en el caparazón.)

La transformación de calibre fuera de la carcasa global infinitesimal es

$$\delta A_{\mu} ~=~0, \qquad \delta\Psi~=~-i\epsilon \Psi, \qquad \delta\overline{\Psi}~=~i\epsilon \overline{\Psi},$$ $$\delta\phi~=~-i\epsilon \phi,\qquad \delta\phi^{\dagger}~=~i\epsilon \phi^{\dagger}, \qquad \ldots, \qquad\delta {\cal L} ~=~0,\tag{8}$$

donde el parámetro infinitesimal$\epsilon$no depende de$x$.

La corriente de Noether es la eléctrica.$4$-Actual$^2$

$$j^{\mu}~=~e\overline{\Psi}\gamma^{\mu}\Psi - ie\{\phi^{\dagger} D^{\mu}\phi-(D^{\mu}\phi)^{\dagger}\phi\}+\ldots. \tag{9}$$

El primer teorema de Noether es un teorema sobre la teoría clásica de campos. Produce una ecuación de continuidad en la capa$^3$

$$d_{\mu}j^{\mu}~\stackrel{m}{\approx}~0.\tag{10}$$

Por lo tanto la carga eléctrica

$$Q~=~\int\! d^3x~ j^0\tag{11}$$

se conserva en la concha.

Referencias:

1. M. Srednicki, QFT.

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$^1$Nótese que la densidad lagrangiana de la materia${\cal L}_{\rm matter}$puede depender del campo de calibre$A_{\mu}$

$^2$Curiosamente, la electricidad$4$-Actual$j^{\mu}$depende del potencial del calibre$A_{\mu}$en caso de materia escalar QED.

$^3$Tenga en cuenta que la prueba anterior de la ecuación de continuidad (10) a través del primer teorema de Noether (como solicitó OP) nunca usa las ecuaciones de Maxwell.