¿Por qué los orbitales no son simétricos?

Mi respuesta se superpone mucho con la respuesta anterior de NoEigenvalue, pero creció demasiado para un comentario.

Los orbitales están segregados por la cantidad de momento angular que llevan. Sin momento angular,$\ell=0$, son llamados$s$-orbitales, y son esféricamente simétricos. Los primeros dos ejemplos en tu figura son$s$-orbitales con$n=1$y$n=2$.

El momento angular rompe explícitamente la simetría esférica, por lo que los orbitales con$\ell\neq0$ no puede ser esféricamente simétrico. Si define algún eje como su$z$dirección, la función de onda con$m=0$tiene valor cero en el$x$-$y$avión, un cartel arriba, el otro cartel abajo. La función de onda con$m=+1$tiene su máxima magnitud en un anillo en el$x$-$y$plano, con la fase de la función de onda aumentando a medida que circula el$z$-eje que va en una dirección; la función de onda con$m=-1$tiene su fase aumentando a medida que circula el$z$-eje al revés. esto corresponde a$m=\pm1$funciones de onda que representan partículas que giran alrededor de la$z$-eje, y$m=0$funciones de onda que representan partículas con vectores de momento angular que se encuentran en el$x$-$y$avión.

De manera un tanto confusa, la mayor parte de la discusión sobre orbitales en línea tiene un sesgo químico bastante fuerte, donde la dirección del vector de momento angular no suele ser tan crítica como la distribución espacial de la carga. Resulta que si solo sumas los dos orbitales con$m\neq0$terminas con una distribución de probabilidad que se parece a la$m=0$orbital, pero orientado a lo largo del$x$-eje en lugar del$z$-eje; esto generalmente se llama un$p_x$orbital, en contraste con$p_z$. Del mismo modo, si agrega los orbitales con una fase relativa de$i=\sqrt{-1}$, terminas con$p_y$. Eso es lo que hay en tu figura:$p_x, p_y, p_z$. cada uno de ellos tiene$\ell=1,m=0$, solo a lo largo de un eje diferente, lo que hace que la interpretación del momento angular sea más confusa.

Estarás satisfecho de saber que si tengo una partícula con$\ell=1$pero absolutamente ninguna información sobre la orientación de ese momento angular, entonces mi partícula está en una mezcla igual de$p_x, p_y, p_z$y su distribución de probabilidad se vuelve esféricamente simétrica.

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Usted pide en un comentario un poco más de detalle sobre signos y fases. Podemos ser explícitos : además de un coeficiente de normalización, el $\ell=1$Los armónicos esféricos son $$\begin{align} Y_1^{-1}(\theta,\phi) &\propto e^{-i\phi} \sin\theta &&= \frac{x-iy}{r} \\ Y_1^{0}(\theta,\phi) &\propto \cos\theta &&= \frac{z}{r} \\ Y_1^{+1}(\theta,\phi) &\propto -e^{i\phi} \sin\theta &&= -\frac{x+iy}{r} \end{align}$$ Aquí $x,y,z$son las coordenadas de posición habituales, $r$es la longitud de un vector $\vec r$cuyos componentes son $(x,y,z)$, el ángulo $\theta$está entre $\vec r$y el $z$-eje, y el ángulo $\phi$está entre la proyección de $\vec r$sobre la $x$- $y$avion y el $x$-eje. La función de onda completa también incluye la parte radial $$\psi_{n\ell m} = R_{n\ell}(r) Y_\ell^m(\theta,\phi)$$ donde las funciones de onda radiales tienen la forma $$R_{n\ell}(r) \propto r^{n-1} e^{-r/r_0}.$$ Esto nos da, por $\ell=1$: $$\begin{align} \psi_{1,1,-1} - \psi_{1,1,+1} &\propto 2x e^{-r/r_0} \\ -\psi_{1,1,-1} - \psi_{1,1,+1} &\propto 2iy e^{-r/r_0} \\ \psi_{1,1,0} &\propto z e^{-r/r_0} \end{align}$$ Esto motiva a la $p_x,p_y,p_z$descripción anterior.

En cuanto a signos y fases: puedes ver que$\cos\theta$es positivo si$\vec r$está cerca de la$z$-eje, negativo si$\vec r$está cerca de la$-z$-eje, y cero en el$x$-$y$avión; eso da la interpretación de "manchas de colores opuestos" sobre la que está preguntando.

Para el$m\neq0$armónicos, puedes ver que$\sin\theta$es positivo para todos$\theta$(nótese que de lo positivo$z$-eje al negativo$z$-eje es solo media vuelta, no una vuelta completa). La diferencia entre los dos estados es el signo del exponente en$e^{\pm i\phi}$. Sin embargo, el$m\neq0$los armónicos son puramente imaginarios en el$y$-eje, lo que los hace un poco más difíciles de dibujar.

Los orbitales son sólo esféricamente simétricos para$S$-estados, para los cuales el número de momento angular$l$es cero Entonces, en tu imagen, los dos primeros orbitales son los$s=1$y el$s=2$estado, mientras que las otras tres imágenes corresponden al$n=2,l=1$con las tres posibilidades diferentes de$m_l$.

Hay varias formas de ver que las funciones de onda con$l=0$son estrictamente simétricos, uno de los cuales es que puedes escribir una función de onda del átomo de hidrógeno como

$$\psi_{nlm}=R_{nlm}(r)Y_{lm}(\theta,\phi),$$

dónde$Y$son los armónicos esféricos que determinan la dependencia angular de la función de onda. Entonces, si buscas el armónico esférico con$l=0$, ves que no tiene dependencia angular. La función de onda es en este caso esféricamente simétrica (y 3D, ya que son las "coordenadas esféricas" -$r$).

Solo quería agregar que no es totalmente cierto que los orbitales dibujados sean "las regiones donde se puede encontrar un electrón". Pero mi respuesta crecía y crecía...

Tomemos un átomo de boro neutro donde ha llenado las capas 1s y 2s y un electrón en la capa 2p. Supongamos que está flotando en el espacio, lejos de interacciones desordenadas con otras cosas. Entonces, te preguntas, ¿en qué orbital 2p está el electrón?

Si preparas físicamente un átomo en un estado dado, entonces físicamente has introducido una asimetría muy real. Por ejemplo, supongamos que prepara un$2p_z$átomo, y de alguna manera encuentras una manera de imaginar dónde están los electrones. Después de repetir esto en muchos átomos preparados de manera idéntica y construir estadísticas para construir su "nube de probabilidad" experimental, encontraría lóbulos en la parte superior e inferior (agregados a la$1s$y$2s$nubes esféricas).

Pero, por supuesto, no tiene que estar preparado en un estado x, y o z. Aunque en principio se puede preparar un átomo de boro con un$2p_x$estado, o$2p_y$estado, también puedes prepararlo en un$\frac{1}{\sqrt{2}}(|2p_x\rangle + |2p_y\rangle)$estado de superposición o cualquier otra superposición. Esas superposiciones también son orbitales válidos, no menos que los orbitales que ha dibujado. Entonces, también puede preparar átomos de boro para que, en la imagen hipotética de las nubes de electrones, los lóbulos estén orientados 45 grados desde el eje z. O podría preparar los átomos para que no tengan lóbulos sino un ecuador gordo:$\frac{1}{\sqrt{2}}(|2p_x\rangle + i \, |2p_y\rangle)$.

Para un átomo de boro elegido al azar en un gas, por supuesto que nos gustaría una descripción matemática que restablezca la simetría esférica. Aquí es donde entra en juego el concepto mecánico cuántico de estados mixtos y matrices de densidad. Esta descripción completa del átomo de boro, incluida la incertidumbre, le dice que para cualquier medida que realice, el átomo elegido al azar no tiene una dirección preferida. Desafortunadamente, esta mecánica cuántica completa es matemáticamente más confusa para el iniciado, y parece que no hemos inventado el inglés adecuado para describir estados mixtos; es por eso que decimos cosas extrañas como "el electrón de boro desapareado está aleatoriamente en uno de los tres orbitales 2p", lo cual es bastante correcto en cierto sentido pero puede ser engañoso. También es igualmente válido en cualquier otra base de orbitales 2p decir que está aleatoriamente en uno de los tres orbitales.

Nota técnica: si continúa investigando, descubrirá que, debido al acoplamiento de la órbita de giro, los seis estados orbitales de giro del boro han roto la degeneración. Dos forman el estado fundamental y los otros cuatro tienen una energía ligeramente elevada ( consulte la base de datos del NIST ). Pero, ¿significa esto que el átomo de boro aleatorio está en un estado mixto de los dos orbitales en estado fundamental? ¡No! El desdoblamiento de energía es de solo 1,9 meV; entonces, para la mayoría de las temperaturas experimentales, los seis estados orbitales de espín tendrían la misma probabilidad.

Comentarios a la pregunta (v2):

El hecho de que el TISE sea invariante bajo un grupo de simetría .$G$(en este caso el grupo de Lie$G=SO(3)$de rotaciones 3D) no implica que las soluciones orbital/función de onda$\psi$debe ser$G$-invariante también.

(Piense, por ejemplo, en la ruptura espontánea de la simetría donde las leyes que rigen un sistema físico son invariantes bajo un grupo de simetría$G$, pero el sistema elige un estado fundamental que no es invariante bajo$G$. Consulte también, por ejemplo, esta publicación de Phys.SE).

De manera más general, una solución de función de onda rotada es nuevamente una solución para TISE.

En otras palabras, las soluciones de función de onda$\psi$transformar en grupo de Lie las representaciones de$G$, aunque (como se dijo anteriormente) no necesariamente en la representación trivial/única. Véase también, por ejemplo, esta publicación de Phys.SE.