¿Es un átomo de boro isotrópico en ausencia de un campo? Si es así, ¿cómo se puede escribir su estado electrónico?

Eso está básicamente determinado por cómo llegó allí el átomo de boro y cuál fue su última interacción. Los estados propios atómicos son estacionarios en ausencia de interacciones externas, por lo que el estado del átomo conservará las anisotropías de la última interacción que tuvo con los sistemas externos.

¿Cómo se puede escribir el estado de un electrón en un$p$orbital de forma isotrópica?

Esto es (probablemente) imposible si el electrón está en estado puro.

Lo que puedes hacer es afirmar que el electrón está en el$p$shell, pero que esta es la única información que se puede obtener, en cuyo caso la práctica habitual es asignar al sistema el estado de mezcla máxima que sea consistente con la información conocida sobre él, de modo que no se pueda describir usando una función de onda, y necesitará usar una matriz de densidad en su lugar.

Para$p$electrón para el que no se conoce información de orientación, esta matriz de densidad mixta máxima dice

$$\hat \rho = \frac13\bigg( |p_-⟩⟨p_-| + |p_0⟩⟨p_0| + |p_+⟩⟨p_+| \bigg);$$ este es el estado que toma como punto de partida si, por ejemplo, está calculando el espectro de momento de electrones de fotoionización de un átomo de boro en el vacío que sabe que está en su estado fundamental electrónico pero que llegó a ese vacío, por ejemplo, en un chorro de gas que aleatorizó su orientación en formas que no puedes calcular. Esta matriz de densidad es completamente isótropa y también se puede reexpresar como $$\hat \rho = \frac{1}{4\pi} \int_{\mathbb S^2} |p_{\hat n}⟩⟨p_{\hat n}| \mathrm d\Omega_{\hat n},$$ dónde $|p_{\hat n}⟩$es un estado propio de ${\hat n}\cdot \hat{\mathbf L}$(con cualquiera de los tres valores propios), y la integración se pondera uniformemente sobre el ángulo sólido sobre la orientación del vector unitario $\hat n$, que luego hace que la isotropía sea automática.

$$\def\hH{\hat H} \def\hR{\hat R} \def\ket#1{|#1\rangle}$$

Un átomo en ausencia de cualquier campo debe obedecer a una simetría esférica

Cierto, pero esto no implica que todos los estados tengan que ser isotrópicos. Dejar$\ket\xi$ser un estado propio de$\hH$al valor propio$E$. Todo lo que puedes decir es que

$$\ket{\xi'}=\hR\ket\xi$$ (con $\hR$un operador unitario de rotación) sigue siendo un vector propio de $\hH$, al mismo valor propio.

Entonces surgen dos posibilidades:

1. Estado$\ket\xi$es invariante:$\ket{\xi'}=\ket\xi$. Realmente tienes un estado isotrópico.
2. $\ket{\xi'}$es un vector diferente de$\ket\xi$. Esto significa que el valor propio$E$es degenerado .

La primera situación prevalece para$s$orbitales, el segundo para$p$orbitales (y para momentos angulares más altos, por supuesto).