¿De dónde vienen las simetrías en los orbitales atómicos?

El átomo de hidrógeno es esféricamente simétrico, por lo que para cualquier solución de la ecuación de Schrödinger para el átomo de hidrógeno, cualquier rotación de esa solución también debe ser una solución. Si haces los cálculos sobre cómo rotar una solución, resulta que las soluciones con una energía particular$E_n$se dividen en grupos etiquetados por un número entero$l < n$. el entero$l$es físico:$\hbar^2 l(l+1)$es la magnitud al cuadrado del momento angular. Dentro de cada grupo, rotar la solución le da una nueva solución en el mismo grupo. Por supuesto, estos dos hechos están conectados: una rotación no puede cambiar la longitud de un vector.

Se puede demostrar que cada grupo contiene$2l+1$soluciones independientes, en el sentido de que cualquier solución$|n,l\rangle$donde esta la energia$E_n$y el momento angular$\hbar^2 l(l+1)$se puede escribir como una suma

Esta descomposición se basa en elegir un eje en particular, y tomar cada estado en función del ángulo$\varphi$alrededor de este eje como$e^{im\varphi}$. La aparición de ejes de simetría en estos gráficos se debe a esta elección de eje y descomposición particular. Con otra elección de eje, que es lo mismo que una rotación, los estados se mezclarán.

La conclusión es que no es cada solución (función de onda) la que debe ser esféricamente simétrica, sino el conjunto total de soluciones .

¿Cómo ocurren estas simetrías que se muestran en el artículo anterior? ¿Qué pasa con el eje 'preferible' de simetrías? ¿Por qué estos?

Para los átomos que no están sujetos a campos eléctricos o magnéticos externos netos, la orientación de los ejes es arbitraria. Esto se muestra claramente en las matemáticas porque la suma de todos los armónicos esféricos que contribuyen a una sola capa (1s, 2s, 2p, 3s, 3p, 3d, ...) no da una dependencia angular. No se muestra claramente en la visualización porque esos gráficos emplean un corte arbitrario al generar la visualización. Entonces, respuesta corta, los lóbulos de los orbitales apuntan a lo largo de los ejes de coordenadas simplemente por conveniencia: no hay contenido físico en esa característica de la representación.

El hecho de que haya un número entero no negativo de nodos radiales o angulares surge de las condiciones de contorno de la función de onda: al igual que las vibraciones de una cuerda de guitarra, solo los modos que "encajan" en el espacio existen como independientes del tiempo. soluciones

En el caso de que haya campos electromagnéticos externos, esos campos hacen dos cosas:

• Cambian la forma de las soluciones independientes del tiempo.
• El hacer cumplir una elección de orientación sobre las nuevas soluciones.

La respuesta corta es que los electrones necesitan obedecer reglas cuando están unidos al átomo.

Originalmente tenía una imagen de los orbitales aquí, pero siga los comentarios de dmckee, en los que se señalan correctamente las trampas de confiar demasiado en las imágenes, en lugar de la visualización matemática. Si puedes trabajar en las matemáticas, eventualmente recompensará tu esfuerzo.

1. Primero ocupan los niveles de energía más bajos y luego se llenan hacia afuera con energía creciente.

2. Siguen el principio de exclusión de Pauli, por lo que dos electrones solo pueden ocupar el mismo orbital si tienen espines opuestos.

3. Son mutuamente repulsivos, debido a su carga negativa, por lo que pueden no ser simétricos en el espacio, pero estarán lo más separados posible entre sí. Son simétricos en el sentido de que, vistos en un espejo, parecerían iguales, aunque no esféricamente simétricos, ya que esto puede acercarlos y romper las reglas que rigen su "ubicación".

4. Cada nivel de energía más alto puede permitir que muchos más electrones lo ocupen, en varias formas, pero una vez que un nivel de energía está lleno, cualquier nueva llegada de un electrón debe ocupar un orbital discreto , y todos estos factores juntos nos alejan más del original. Modelo del sistema solar de Bohr.

¿De dónde vienen las simetrías en los orbitales atómicos?

Siempre es una buena idea buscar el desarrollo histórico. Te recomiendo que leas el artículo de Wikipedia sobre armónicos esféricos . Los armónicos esféricos son funciones especiales definidas en la superficie de una esfera . Fueron investigados por primera vez en relación con el potencial newtoniano de la ley de gravitación universal de Newton en tres dimensiones por Pierre-Simon de Laplace en 1782.

El predominio de los armónicos esféricos ya en la física sentó las bases para su importancia posterior en el nacimiento de la mecánica cuántica en el siglo XX. Los armónicos esféricos son funciones propias del cuadrado del operador del momento angular orbital... y por lo tanto representan las diferentes configuraciones cuantificadas de los orbitales atómicos.

Representaciones visuales de los primeros armónicos esféricos reales. Las partes azules representan regiones donde la función es positiva y las partes amarillas representan donde es negativa (de Wikipedia https://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_harmonics#/media/File:Spherical_Harmonics.png )

¿Qué pasa con el eje 'preferible' de simetrías? ¿Por qué estos?

Como puedes ver en la siguiente imagen del mismo artículo de Wikipedia la orientación de los armónicos esféricos al eje X,Y y Z de las coordenadas cartesianas no son las únicas orientaciones posibles:

De Wikipedia: Armónicos esféricos

Como puede ver en estas figuras, las figuras simétricas debidas a coordenadas cartesianas son la forma habitual de pensar, pero no la única posible.