¿Existe una correspondencia 1-1 entre la simetría y la teoría de grupos?

El profesor de mi clase de física matemática introduce la definición de grupos y dijo que la teoría de grupos es la matemática de la simetría.

También dio algunos ejemplos de grupos como el conjunto de todos los números reales bajo suma.

Mi pregunta es ¿de qué simetría estamos hablando aquí cuando consideramos el conjunto de todos los números reales bajo suma?

De hecho, la teoría de grupos es el lenguaje matemático de la simetría. Aquí hay un enlace de un buen artículo titulado "Simetría en física: legado de Wigners" jptp.uni-bayreuth.de/vorlesungen/symmetry.pdf Fue escrito en 1995 por el ganador del premio Nobel David Gross.

Respuestas (2)

  1. Por un lado, un grupo GRAMO es un concepto puramente matemático.

  2. Por otro lado, dado un sistema S en que un grupo GRAMO hechos GRAMO × S → S . El sistema S entonces constituye una representación (posiblemente no linealmente realizada) del grupo GRAMO . El sistema S puede en ciertos casos ser invariante bajo la acción del grupo, y en tales casos decimos que el sistema S posee un GRAMO - simetría .

  3. En física, S es típico un conjunto de ecuaciones, o una acción (que no debe confundirse con la noción de una acción de grupo ).

  4. El grupo abeliano GRAMO = ( R , + ) que OP menciona está implementado en muchos sistemas físicos. Podría ser la simetría de traslación de un sistema físico en una dirección dada, como escribe Maksim Zholudev en un comentario. Pero esta es solo una de muchas posibilidades, y no existe una correspondencia 1-1 entre grupos y simetrías en un sentido matemático estricto.

  5. Finalmente, tenga en cuenta que la noción de un grupo GRAMO puede debilitarse/generalizarse de varias maneras, por ejemplo, a un grupoide .

Déjame ver si lo entiendo bien: Así que un grupo GRAMO no se identifica con una simetría a menos que los elementos del grupo dejen algún sistema invariante, ¿no?. ¿Quién es OP?. en caso de que GRAMO es la simetría de traslación de un sistema físico en una dirección dada, ¿cuáles son las representaciones de los elementos del grupo en este caso? y ¿cuál es la cantidad que será invariante bajo la traslación del sistema? (Siempre que se menciona la palabra simetría, trato de pensar en una cantidad que queda invariante bajo el efecto de los elementos del grupo, como un triángulo equilátero bajo rotación por norte × 120 grados)
Bueno, ahora tienes que hablar de la diferencia entre las simetrías reales, como la simetría de un círculo cuando el grupo Z norte actúa por rotaciones o el grupo diédrico que actúa sobre un n-ágono regular (reflexiones, rotaciones), con transformaciones de calibre que hablan de ecuaciones y sus soluciones (el principal ejemplo es la electrodinámica). Y "OP" significa cartel original.

Existe una correspondencia de uno a uno entre la simetría y la teoría de grupos por la sencilla razón de que si A es una simetría y B es una simetría, entonces también lo es B seguido de A. Esto implica que las simetrías forman un grupo, donde la ley de grupo es la composición . de mapas (una simetría es un mapa).

La traslación a lo largo del eje real es la simetría física de la traslación del tiempo. Como señaló Wiener, es un hecho importante que si comenzamos un experimento en el momento t = 0 y midió los resultados en el momento t = 4 , las respuestas serán, físicamente, las mismas que si hubiéramos iniciado el experimento en el momento t = 21 y midió los resultados en el momento t = 25 .

Esta es la razón por la cual el análisis de Fourier es útil... siempre que tenga un grupo de simetría, las representaciones de ese grupo son útiles. Las representaciones del grupo de traducción son las funciones exponenciales, por lo que resulta útil el análisis de Fourier, la descomposición de una función arbitraria en combinaciones de diferentes funciones exponenciales.

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