¿Tienen una acción y sus ecuaciones de Euler-Lagrange las mismas simetrías?

Configuración. Estamos pensando en una transformación.$^1$que actúa sobre las variables de campo$\phi^{\alpha}(x)$y posiblemente el punto del espacio-tiempo$x^{\mu}$. La transformación a su vez se aplica a

1. La acción$S_V[\phi]=\int_V \! d^nx~{\cal L}$.

2. Las ecuaciones de Euler-Lagrange = las ecuaciones de movimiento (EOM).

3. Una solución$\phi$de la MOE.

Definición. Si alguno de los elementos 1-3 es invariante bajo la transformación, hablamos de una simetría del elemento 1-3 correspondiente.

Definición. Si una solución (3) no tiene la simetría que tienen los MOE (2), hablamos de una simetría rota espontáneamente .

Definición. A continuación, recordemos la definición de un (off-shell$^2$) cuasi-simetría de la acción. Significa que la acción cambia por una integral de frontera

$$S_{V^{\prime}}[\phi^{\prime}] +\int_{\partial V^{\prime}} \!d^{n-1}x~(\ldots) ~=~S_V[\phi]+ \int_{\partial V} \!d^{n-1}x~(\ldots) \tag{0.1}$$ bajo la transformación.

Proposición. En general, si una acción (1) tiene una cuasi-simetría, entonces el MOE (2) debe tener una simetría (es decir, la misma transformación), cf. por ejemplo, esta publicación de Phys.SE.

Ejemplos:

1. Un ejemplo es la densidad Maxwell Lagrangiana (en el vacío sin la$J^{\mu}A_{\mu}$Término fuente)

   $${\cal L} ~=~ -\frac{1}{4}F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}~=~\frac{1}{2}(\vec{E}^2-\vec{B}^2), \tag{1.1}$$ que no tiene electromagnético$SO(2,\mathbb{R})$simetría de dualidad $$(\vec{E}, \vec{B})\quad \longrightarrow \quad(\vec{E}\cos\theta - \vec{B}\sin\theta, \vec{B}\cos\theta + \vec{E}\sin\theta),\tag{1.2}$$ mientras que las ecuaciones de Euler-Lagrange (las ecuaciones de Maxwell en el vacío) son simétricas bajo la dualidad electromagnética.

2. Otro ejemplo es una partícula puntual libre no relativista donde el Lagrangiano

   $$L~=~\frac{1}{2}m\dot{q}^2\tag{2.1}$$ no es invariante bajo la simetría galileana $$\dot{q}\quad \longrightarrow \quad\dot{q}+v,\tag{2.2}$$ ni la dilatación/simetría de escala $$q \quad \longrightarrow \quad \lambda q,\tag{2.3}$$ pero la MOE $$\ddot{q}~=~0\tag{2.4}$$ es invariante. En el caso de la simetría galileana (2.2), el lagrangiano cambia por una derivada total del tiempo $$L \quad \longrightarrow \quad L +mv\frac{d}{dt}\left( q +\frac{vt}{2}\right).\tag{2.5}$$ Ver también esta publicación de Phys.SE. Así (2.2) es en realidad un ejemplo de cuasi-simetría de la acción. [Es un ejercicio instructivo derivar la carga de Noether correspondiente$Q$. En el nivel infinitesimal, la transformación de Galileo (2.2) dice $$\begin{align} \delta \dot{q}~=~&\delta v~=~\varepsilon, \qquad \delta q~=~\varepsilon t,\cr \delta L ~=~& \varepsilon\frac{df}{dt}, \qquad f ~:=~mq. \end{align}\tag{2.6}$$ La carga desnuda de Noether es $$Q^0~=~t \frac{\partial L}{\partial \dot{q}}~=~t m\dot{q}, \tag{2.7}$$ mientras que la carga completa de Noether es $$Q~=~Q^0-f~=~m(\dot{q}t-q),\tag{2.8}$$ que se conserva en la concha, cf. Teorema de Noether . El generador de impulsos de Galileo (no relativista) (2.8) debe compararse con los generadores de impulsos de Lorentz (relativistas)$tP-xE$en teorías relativistas, cf. por ejemplo, esta publicación Phys.SE.]

3. La dilatación/transformación de escala

   $$q \quad \longrightarrow \quad \lambda q,\tag{3.1}$$ no es una cuasi-simetría de la acción lagrangiana $$S[q]~= ~\int\! dt ~L, \qquad L ~=~\frac{m}{2}\dot{q}^2- \frac{k}{2}q^2, \tag{3.2}$$ para el oscilador armónico simple (SHO), pero es una simetría del EOM $$m\ddot{q}~=~-kq. \tag{3.3}$$

4. La dilatación/transformación de escala

   $$q \quad \longrightarrow \quad \lambda q, \qquad p \quad \longrightarrow \quad \lambda p, \tag{4.1}$$ no es una cuasi-simetría de la acción hamiltoniana $$\begin{align} S_H[q,p]~= ~&\int\! dt ~L_H, \qquad L_H ~=~p\dot{q}-H, \cr H ~=~&\frac{p^2}{2m}+ \frac{k}{2}q^2,\end{align} \tag{4.2}$$ para el SHO, pero es una simetría del EOM de Hamilton $$p~=~m\dot{q} , \qquad \dot{p}~=~-kq. \tag{4.3}$$

5. La MOE del SHO

   $$m\ddot{q}~=~-kq \tag{5.1}$$ no es invariante bajo la simetría temporal $$t \quad \longrightarrow \quad \lambda t,\qquad \lambda~\neq~\pm 1,\tag{5.2}$$ pero la solución trivial$q=0$es.

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$^1$Tenga en cuenta que en la parte principal de esta respuesta, la transformación actúa solo en las variables de campo$\phi^{\alpha}(x)$y posiblemente el punto del espacio-tiempo$x^{\mu}$, que es el tipo de transformación relevante para el teorema de Noether . No estamos considerando una transformación de otros objetos (como parámetros) per se.

Ejemplo de esto último: Una transformación de la densidad lagrangiana

$${\cal L} \longrightarrow \lambda {\cal L},\qquad \lambda~\neq~ 1,\tag{6.1}$$ no es una cuasi-simetría de la densidad lagrangiana, pero es una simetría de las ecuaciones EL.

$^2$Aquí, la palabra off-shell indica que no se supone que los EOM se mantengan bajo la transformación específica. En el caso de transformaciones continuas, si asumimos que se cumple el EOM, entonces cualquier variación infinitesimal de la acción es trivialmente una integral de frontera.