¿Simetría de una función de onda espacial independiente de MLMLM_L?

La simetría no depende de$M_L$. La forma más sencilla de ver esto es la siguiente. Empezar con$\vert L,M_L\rangle$como estado del producto.

Si es un producto de solo dos estados, se escribiría como

$$\vert L M_L\rangle = \sum_{m_1m_2}C_{\ell m_1;\ell m_2}^{LM_L} \vert \ell m_1\rangle \vert \ell m_2\rangle \tag{1}$$ dónde $C_{\ell m_1,\ell m_2}^{LM_L}$es un coeficiente de Clebsch-Gordan. Permutar partículas $1$y $2$, que es lo mismo que permutar $m_1$y $m_2$y obtienes $$C_{\ell m_2;\ell m_1}^{L M_L}=(-1)^{2\ell-L} C_{\ell m_1;\ell m_2}^{L M_L}$$ mostrando que la fase $(-1)^{2\ell -L}$y por lo tanto el carácter de simetría no depende de $M_L$.

Si tiene más de dos partículas, el trabajo es un poco más complicado. Empezar con$\vert L,L\rangle$como un estado de producto, generalizando (1) a más de un constituyente. Los coeficientes en las combinaciones lineales ya no son CG pero esto no importa por ahora.

Desde el Estado$\vert L,M_L\rangle$llegas al estado$\vert L,M_L-1\rangle$por aplicación del operador de bajada

$$\hat L_-= \sum_i \hat L_{i,-}= \hat L_{1,-}+\hat L_{2,-}+\hat L_{3,-}\ldots$$ Tenga en cuenta que esta suma es simétrica bajo la permutación de números de partículas, por lo que, por ejemplo: $$\begin{align} P_{12}\vert L,M_L-1\rangle &= P_{12}{\cal N}_{M_L}\left(\hat L_{1,-}+\hat L_{2,-}+\ldots \right)\vert L,M_L\rangle\, ,\\ &={\cal N}_{M_L}\left(\hat L_{1-}+\hat L_{2-}+\ldots\right)P_{12}\vert L,M_L\rangle \end{align}$$ dónde ${\cal N}_{M_L}$es una constante de normalización. Esto muestra que la simetría bajo permutación de $\vert L,M_L-1\rangle$es el de $\vert L,M_L\rangle$, e independiente de esto $M_L$.