¿Paridad definitiva de soluciones a una ecuación de Schrödinger con potencial par?

¡Buena pregunta! Primero necesita saber que la paridad se refiere al comportamiento de un sistema físico, o una de las funciones matemáticas que describen tal sistema, bajo reflexión. Hay dos "tipos" de paridad:

• Si$f(x) = f(-x)$, decimos la función$f$tiene incluso paridad
• Si$f(x) = -f(-x)$, decimos la función$f$tiene paridad impar

Por supuesto, para la mayoría de las funciones, ninguna de esas condiciones es verdadera, y en ese caso diríamos que la función$f$tiene paridad indefinida .

Ahora, eche un vistazo a la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo en 1D:

y nota lo que pasa cuando reflexionas$x\to -x$:

Si tiene un potencial simétrico (par),$V(x) = V(-x)$, esto es exactamente lo mismo que la ecuación original excepto que hemos transformado$\psi(x) \to \psi(-x)$. Dado que las dos funciones$\psi(x)$y$\psi(-x)$satisfacen la misma ecuación, debe obtener las mismas soluciones para ellos, excepto por una constante multiplicativa general; en otras palabras,

normalizando$\psi$requiere que$|a| = 1$, lo que deja dos posibilidades:$a = +1$(paridad par) y$a = -1$(paridad impar).

En cuanto a lo que esto significa físicamente, le dice que siempre que tenga un potencial simétrico, debería poder encontrar una base de estados propios que tengan una paridad par o impar definida (aunque no lo he probado aquí, * solo lo hice parecer razonable). En la práctica, obtienes combinaciones lineales de estados propios con diferentes paridades, por lo que el estado real puede no ser realmente simétrico (o antisimétrico) alrededor del origen, pero al menos te dice que si tu potencial es simétrico, podrías construir un simétrico ( o antisimétrico). Eso no está garantizado de otra manera. Sin embargo, probablemente tendría que obtener información de otra persona sobre para qué se usan exactamente los estados de paridad definida, ya que eso está fuera de mi área de experiencia (a menos que le importe la paridad de las partículas elementales, que es bastante más extraño).

*Existe un operador de paridad$P$que invierte la orientación del espacio:$Pf(x) = f(-x)$. Las funciones de paridad definida son funciones propias de este operador. Creo que puede demostrar la existencia de una base propia de paridad definida mostrando que$[H,P] = 0$.

Lo siento, encontré la respuesta de David Z un poco confusa justo cuando discutía el punto crucial.

Dado que las dos funciones ψ(x) y ψ(−x) satisfacen la misma ecuación, debe obtener las mismas soluciones para ellas, excepto por una constante multiplicativa general; en otras palabras,

ψ(x)=aψ(−x)

Normalizar ψ requiere que |a|=1, lo que deja dos posibilidades: a=+1 (par >paridad) y a=−1 (paridad impar).

La primera parte "Dado que las dos funciones... constante multiplicativa" es generalmente falsa sin un requisito adicional importante que no se garantiza aquí. De hecho, es cierto bajo la hipótesis de que el espacio propio del operador hamiltoniano con valor propio$E$estamos considerando es unidimensional . Sin embargo, este no es el caso en general. Finalmente la parte restante del enunciado anterior "Normalizar... la paridad)". es incorrecto de todos modos tal como está: la normalización solo requiere$|a|=1$.

Permítanme proponer una respuesta alternativa.

En primer lugar, se introduce la transformación de paridad ,$P: {\cal H} \to {\cal H}$, dónde${\cal H} = L^2(R)$, definido de la siguiente manera sin hacer referencia a ningún operador hamiltoniano :

Arriba$\eta_\psi$es un número complejo con$|\eta_\psi|=1$. Es necesario dejar esta posibilidad porque, como es bien sabido en QM, los estados son funciones de onda hasta una fase tal que$\phi$y$e^{i\alpha} \phi$son indistinguibles como estados y, físicamente, solo podemos manejar estados. como el mapa$P$es (1) biyectiva y (2) conserva las probabilidades de transición entre estados , es la llamada simetría cuántica . Un célebre teorema de Wigner garantiza que toda simetría cuántica puede representarse mediante un operador unitario o antiunitario (dependiendo de la naturaleza de la simetría misma). En el presente caso, todo eso significa que debe ser posible arreglar el mapa$\psi \mapsto \eta_\psi$para que$P$se vuelve lineal (o anti-lineal) y unitario (o anti-unitario). Como una cuestión de hecho$P$se vuelve unitario si$\eta$se supone que es una forma independiente$\psi$. Entonces terminamos con el operador de paridad unitaria :

dónde$\eta \in C$con$|\eta|=1$es cualquier número fijo . Podemos hacer más precisa nuestra elección de$\eta$requiriendo que$P$es también un observable , es decir$P=P^\dagger$. Es inmediato comprobar que sucede sólo para$\eta = \pm 1$. Es cuestión de conveniencia arreglar el letrero. Asumimos en adelante$\eta=1$(nada de lo siguiente cambiaría con la otra opción). Tenemos nuestra paridad observable/simetría dada por:

¿Cuál es el espectro de$P$? Como$P$es unitario, los elementos$\lambda$del espectro debe verificar$|\lambda|=1$. Como$P$es autoadjunto el espectro tiene que pertenecer a la línea real. Concluimos que el espectro de$P$contiene$\{-1,1\}$a lo sumo. Dado que estos son puntos discretos, deben ser valores propios propios con vectores propios asociados (quiero decir: cosas como el delta de Dirac están excluidas).

Es imposible que el espectro contenga$1$solo o$-1$solamente, de lo contrario tendríamos$P=I$o$P=-I$respectivamente, eso es evidentemente falso. hemos encontrado que$P$tiene exactamente dos valores propios$-1$y$1$.

En este punto podemos definir un estado, representado por$\psi$, para tener par par si$P\psi = \psi$o paridad impar si$P\psi = -\psi$.

Vayamos al problema con nuestro hamiltoniano. Si$V(x) = V(-x)$, por inspección directa uno ve inmediatamente que:

Suponiendo que el espectro de$H$es un espectro de puntos puro (de lo contrario, podemos limitarnos a tratar con el espacio de Hilbert asociado con el espectro de puntos de$H$prescindiendo de la asociada a la continua), un conocido teorema asegura que existe una base de Hilbert de vectores propios de$H$y$P$simultaneamente.

Si$\psi_E$es un vector propio tan común (asociado con el valor propio$E$de$H$), debe verificar$P\psi_E= \psi_E$o$P\psi_E= -\psi_E$, a saber:

$\qquad\qquad \qquad \psi_E(-x) = \psi_E(x)$o, respectivamente,$\psi_E(-x)= \psi_E(x)$.

Para concluir, recalco que generalmente es falso que un vector propio de$H$tiene paridad definida. Si el espacio propio del valor propio dado tiene dimensión$\geq 2$, es fácil construir contraejemplos. Sin embargo, es necesariamente cierto si el espacio propio considerado de$H$tiene dimensión$1$.

Creo que esta debería ser una respuesta alternativa desde los primeros principios.

Suponga que el hamiltoniano es unidimensional y$V(x)$es una función par. Dada una solución general$\psi (x)$, también tenemos eso$\psi (-x)$es una solución Si el espacio propio del hamiltoniano es unidimensional, entonces debemos tener

Si$\psi (x)$y$\psi (-x)$son linealmente independientes, entonces no sé cómo manejar la situación.

Por favor, hágame saber si ha encontrado una falla en mi argumento. Salud.