Actualización: vea aquí para volver a preguntar con la topología del subespacio.
A partir de aquí , sabemos que los subconjuntos múltiples no solo no son necesariamente subvariedades regulares/incrustadas, sino que tampoco son necesariamente subvariedades inmersas.
Ahora pregunto:
Dejar y ser conjuntos con . Dejar convertirse en un suave -múltiple y convertirse en un suave -múltiple, pero no es necesariamente un regular suave/incrustado -subvariedad de . ( supongo terminará en si alguna vez es un regular suave/incrustado -subvariedad de . --> Actualización: no lo creo. Yo creo es completamente irrelevante).
Si de alguna manera tiene sentido decir es una subvariedad sumergida suave de , entonces es un suave regular/incrustado -subvariedad de ?
Bien, sobre las múltiples estructuras:
' un regular/un incrustado -subvariedad ' --> Como recuerdo: dada una estructura múltiple suave en y un subconjunto , hay exactamente 1 estructura de variedad uniforme en st esto tiene. Así que supongo que no hay problema aquí.
' es una subvariedad sumergida suave de -colector y es un suave -manifold' --> Esto puede ser un poco extraño, como si tal vez no tuviera sentido hablar de como una subvariedad sumergida suave de si no se actualiza automáticamente de inmersión suave a regular/incrustado suave tan pronto como en realidad es un colector suave, en caso de w/c probar esto por favor. Pero creo que debería tener sentido porque creo que una subvariedad inmersa de una variedad podría ser una variedad bajo una estructura múltiple/topológica diferente.
Actualización : En Introducción a los colectores de Tu, dice
'Si al conjunto subyacente de una subvariedad inmersa se le da la topología del subespacio, ¡entonces el espacio resultante no necesita ser una variedad en absoluto!'
Sin embargo, los ejemplos parecen significar 'ser una (incrustada/una sub)variedad regular en absoluto'... así que en realidad tal vez cada subvariedad inmersa pueda convertirse en una variedad por sí misma, aunque no va a ser una subvariedad regular/incrustada y entonces la respuesta a la pregunta principal es negativa?
si es así, entonces sí, mi pregunta se basó en un malentendido de la cita. Pensé que la cita significaba que no existe tal estructura múltiple que se pueda colocar en esas subvariedades sumergidas, pero supongo que la cita solo significa que son subvariedades sumergidas (inyectivas) pero no subvariedades regulares / integradas.
Dejar y ser suave y -variedades dimensionales respectivamente y sea una inmersión, es decir, un mapa de rango constante
el comentario de tu
Si al conjunto subyacente de una subvariedad sumergida se le da la topología del subespacio, ¡entonces el espacio resultante no necesita ser una variedad en absoluto!
está diciendo que si dotamos al conjunto con la topología del subespacio entonces puede no ser una variedad (topológica/suave). Sin embargo, eso no significa que no exista una topología donde es un múltiple. En un nivel alto, la topología para se definen por las imágenes de conjuntos abiertos de Esto asegura que si existe localmente será continuo. Los gráficos para se dan tomando el gráfico de coordenadas locales para y componerlo con (esto existe desde es un mapa suave de rango constante entre y ) Llegar que, por la topología construida, es necesariamente continua. Es inverso, por supuesto, existe y es continuo, por lo que puede construir un atlas suave de esta manera. Los detalles se pueden encontrar en la Proposición 5.18 de Lee.
La topología de la subvariedad sumergida no es la topología del subespacio sino una topología que es más fina que la topología del subespacio. Es decir, contiene más conjuntos abiertos que la topología del subespacio. Este es el Ejercicio 5.20 de Lee. Y es precisamente esto lo que comenta Tu. Tu está diciendo que si intentaras usar la topología subespacial en el set encontrará que es posible que no pueda hacer que el conjunto sea una variedad topológica/suave. Sin embargo, si agrega más conjuntos abiertos (crea una topología más fina) de la manera correcta usando la inmersión al conjunto resultante se le puede dotar de una estructura múltiple suave. Simplemente no tendrá la topología del subespacio. Como tal, es posible que los subdistribuidores sumergidos no se puedan actualizar a los normales.
Rollen responde esto en el chat : Ver Lee Smooth Manifolds Propositions 5.18 y 5.2. (Esto no contradice a Tu porque la forma en que Lee convierte las subvariedades sumergidas en variedades uniformes no es a través de la topología del subespacio).
Entonces, bajo esto, las subvariedades inmersas bien siempre pueden convertirse en variedades suaves y, de hecho, BASARSE EN PARTE en la estructura suave original de la variedad principal / espacio ambiental. Sin embargo, debemos ignorar la estructura/topología topológica y usar esa cierta topología. (Dado que la estructura suave incluye la estructura topológica, esto explica el 'parcialmente' en este párrafo, con suerte).
Por lo tanto, la respuesta es negativa porque, dado que las subvariedades inmersas siempre pueden convertirse en variedades uniformes, en realidad no hay una estructura adicional que ayude a las subvariedades sumergidas en cuestión a actualizarse/promoverse a incrustadas/normales.
Pero espere un minuto : si estamos ignorando la topología (subespacial), entonces parece que también podríamos ignorar cierta topología que estamos usando para sustituir la topología subespacial. Por lo tanto: no necesitamos referirnos a Lee. Simplemente consulte la otra pregunta que habla de topologías que hace, digamos, en una variedad topológica unidimensional (y, por lo tanto, una variedad suave unidimensional si es posible) a través de la igualdad de las cardinalidades de y . Le preguntaré a Rollen.
libra