Subhaz de 222 dimensiones del haz tangente de una variedad cerrada de 333 integrable si y solo si α∧dα=0α∧dα=0\alpha \wedge d\alpha = 0?

La respuesta a su pregunta es sí, siempre que la distribución de 2 planos sea orientable. El teorema más general (el$n$-análogo dimensional) se llama el teorema de Frobenius . Es bastante fácil encontrar muchas pruebas de este teorema en línea, y una está en la Introducción a las variedades suaves de Lee .

Arreglar un cero en ninguna parte$1$-forma$\alpha$satisfactorio$\alpha(X) = 0$para cualquier sección$X$de$\xi$. Seleccione una sección cero en ninguna parte$s$de$\nu$; podemos hacer esto porque$\nu$es trivial Observa eso$\alpha \wedge d\alpha = 0$si y solo si$(\alpha \wedge d\alpha)(s_1, s_2, s) = 0$para todas las secciones distintas de cero$s_1$,$s_2$de$\xi$. Tenemos

Ahora, asume$\alpha \wedge d\alpha = 0$.Porque$\alpha$no se desvanece en ninguna parte, podemos escribir$d\alpha$como una combinación lineal de formas del tipo$\alpha \wedge \omega$, dónde$\omega \in \text{Hom}(\nu, \mathbb{R})$, y formas del tipo$\omega_1 \wedge \omega_2$, dónde$\omega_i \in \text{Hom}(\nu, \mathbb{R})$y$\omega_i$son distintos de cero. Tenemos que demostrar que la$\omega_1 \wedge \omega_2$parte es igual a cero. Denote esta parte de la suma por$\Sigma$. Desde$\alpha \wedge d\alpha = 0$, resulta que$\alpha \wedge \Sigma = 0$. Sin embargo,$\alpha$está fuera del alcance de formas como$\omega_i$, entonces tenemos$\Sigma = 0$, como se desee.

Es, con mucha precisión, el teorema de Frobenius. Si desea probar el teorema de Frobenius en el caso especial de una distribución de codimensión 1 en una variedad de 3, no dude en hacerlo.

Suponer$\xi = \ker \alpha$. ¿Qué es, precisamente,$(\alpha \wedge d\alpha)(X,Y,Z)$?

Comencemos con la dirección de avance. Asumir$\xi$es integrable. Entonces también es involutivo, y si$\alpha(X)$y$\alpha(Y)$son cero, entonces también lo es$\alpha([X,Y])$. Ahora si$X,Y,Z$son un marco local con$\alpha(X)=\alpha(Y) = 0$(y también podemos suponer$\alpha(Z) = 1$), entonces