Algunos ejemplos y no ejemplos de variedades topológicas (con límite o no)

Estoy tratando de verificar si estos espacios son variedades topológicas (es decir, localmente euclidianas y$T_2$) con o sin límite.

Me gustaría saber si cometí algún error, tanto en las respuestas como en el razonamiento que las llevó (es decir, si doy la respuesta correcta por las razones equivocadas).

1.$D^2$el disco cerrado en$\mathbb{R}^2,$cociente identificando todos los puntos en$S^1.$

Creo que esto no es una variedad topológica: de hecho, puedo identificar$D^2$con la media esfera$S^2_{\geq 0}$, y bajo este homeomorfismo (que toma$(x,y)$a$(x,y,1-x^2-y^2$)) los puntos en$S^1$se dejan fijos.

Por lo tanto, contratar$S^1$hasta el punto de que la media esfera se convierte en algo así como un globo.

El globo no es una variedad ya que es una vecindad del punto$P$correspondiente a$S^1$se volverá contráctil después de quitar$P,$mientras que algo homeomorfo a un disco se retraería a$S^1$después de quitar un punto.

Por otro lado, creo que es una variedad con límite, donde el único punto límite es$P$. Esto se debe a que un barrio de$P$será homeomorfo al positivo ($x\geq 0, y\geq0$) parte de un disco centrado en$0$por un homeomorfismo enviando$P \mapsto 0.$

2. El disco cerrado$D^2,$cociente identificando el diámetro dado por todos$(x,0)$con$-1 \leq x \leq 1.$

Esto no es un top. múltiple porque un punto en$S^1$tendrá un vecindario que será contraible después de quitar un punto.

Creo que no es una variedad con límite. De hecho, si me imagino este espacio como un disco con el diámetro apretado en el centro$0$, luego tomando un vecindario de$0$y eliminando$0$de él obtengo dos componentes conectados, mientras que medio disco de$\mathbb{R}^2$permanece conectado después de eliminar cualquier punto.

3. El disco cerrado$D^2$donde te identificas$(-1,0)\sim (1,0)$

Ciertamente, esta no es una variedad topológica por la misma razón que la anterior. Creo que esto es una variedad con límite; en este caso el límite está dado por todos los puntos en$S^1$excepto por$(1,0) \sim (-1,0),$ya que estos puntos tienen una vecindad homeomorfa a un disco.