Confusión sobre la noción de variedad compacta con o sin límite

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Confusión sobre la noción de variedad compacta con o sin límite

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Matemáticas
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geometría diferencial
topología diferencial

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Estoy tratando de entender cómo hacer las siguientes dos preguntas sobre variedades compactas:

Muestra esa $\ M\$ es una variedad compacta en $\mathbb{R}^{n},\$ entonces $\partial\ M\$ también es compacto; si tambien $\ M\$ es $\ n\$ -dimensional, entonces $\partial\ M=\$ seco $\ M\$

Demuestre que una variedad compacta no puede representarse mediante una (única) ecuación paramétrica.

Mi confusión es lo que significa que una variedad sea compacta. En algunos libros que tienen que ver con cálculo avanzado o teoría de variedades, se establece que la noción de compacidad al describir variedades es distinta de la noción topológica de compacidad. También me encuentro con preguntas en las que pide probar propiedades sobre variedades compactas sin límite. Esto solo lo hace más confuso. Es como decir que un intervalo cerrado, un círculo o una esfera no tiene puntos límite o un límite vacío, pero aún así está cerrado y acotado. En Wikipedia, la variedad compacta se analiza en el tema de variedades cerradas. Nuevamente, me encuentro con nociones topológicas asociadas con la compacidad. Pero los libros de texto dicen lo contrario.

¿Puede alguien ayudarme con algunas aclaraciones sobre mis confusiones, por favor? gracias de antemano

eric torres

Observo que la única variedad compacta unidimensional,

S^{1}

$S^1$ , satisface la ecuación

x^{2} + y^{2} = 1

$x^2 + y^2 = 1$ en

R^{2}

$\mathbb{R}^2$ . Si se trata de una sola ecuación paramétrica depende de cómo espera representar los puntos en

R^{2}

$\mathbb{R}^2$ . Por ejemplo

(\begin{matrix} X \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} porque θ \\ pecado θ \end{matrix}), θ \in [0, 2 π] .

$\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\cos\theta\\ \sin\theta\end{pmatrix}, \theta\in[0,2\pi] \text{.}$

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@Sou, ¿no estoy seguro de entender tu pregunta?

set

#Eric Towers, las preguntas las saqué de un texto titulado: Análisis en espacios vectoriales. No estoy seguro de si podría significar de manera equivalente que una variedad k no puede representarse mediante un solo gráfico

set

@Sou, ¿puede explicar brevemente qué significa entonces que una variedad compacta no tenga un límite? Simplemente parece realmente extraño la forma en que se usa la palabra "compacto" en este contexto. Gracias

kelvin lois

Simplemente significa que por cada

p \in M

$p\in M$ no hay gráficos

(U, φ)

$(U,\varphi)$ contener

p

$p$ tal que

φ (p) \in \partial H^{n}

$\varphi(p) \in \partial \mathbb{H}^n$ .

set

@Sou, ah... está bien. Ahora todo tiene sentido. Realmente admiro a las personas que investigan en topología/geometría diferencial. Hay tantas definiciones para ordenar y recordar. Se siente como la química orgánica de las matemáticas. :)

Respuestas (1)

Confusión sobre la noción de variedad compacta con o sin límite

Observo que la única variedad compacta unidimensional, $S^1$ , satisface la ecuación $x^2 + y^2 = 1$ en $\mathbb{R}^2$ . Si se trata de una sola ecuación paramétrica depende de cómo espera representar los puntos en $\mathbb{R}^2$ . Por ejemplo $(\begin{matrix} X \\ y \end{matrix}) = (\begin{matrix} porque θ \\ pecado θ \end{matrix}), θ \in [0, 2 π] .$ $\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\cos\theta\\ \sin\theta\end{pmatrix}, \theta\in[0,2\pi] \text{.}$
#Eric Towers, las preguntas las saqué de un texto titulado: Análisis en espacios vectoriales. No estoy seguro de si podría significar de manera equivalente que una variedad k no puede representarse mediante un solo gráfico
@Sou, ¿puede explicar brevemente qué significa entonces que una variedad compacta no tenga un límite? Simplemente parece realmente extraño la forma en que se usa la palabra "compacto" en este contexto. Gracias
Simplemente significa que por cada $p\in M$ no hay gráficos $(U,\varphi)$ contener $p$ tal que $\varphi(p) \in \partial \mathbb{H}^n$ .
@Sou, ah... está bien. Ahora todo tiene sentido. Realmente admiro a las personas que investigan en topología/geometría diferencial. Hay tantas definiciones para ordenar y recordar. Se siente como la química orgánica de las matemáticas. :)

kelvin lois · Answer 1

Lo sabemos $M$ es una variedad compacta en $\mathbb{R}^n$ y el límite (de cualquier variedad con límite) $\partial M$ está cerrado en $M$ . Como todo subconjunto cerrado de un espacio compacto es compacto, entonces $\partial M$ es compacto Para el problema de que cualquier variedad compacta no se puede representar como una sola ecuación paramétrica, solo tenga en cuenta que si podemos, entonces $M$ debe ser homeomorfo a un subconjunto abierto de $U \subset \mathbb{R}^{\text{dim }M}$ . Es decir, existe un homeomorfismo $\varphi : M\to U = \varphi(M)\subset \mathbb{R}^{\text{dim }M}$ . Esto implica que $U$ es compacto (cerrado y acotado) y también abierto. Desde $U \subset \mathbb{R}^{\text{dim }M}$ es abierto y cerrado y $\mathbb{R}^{\text{dim }M}$ conectado, esto significa $U=\mathbb{R}^{\text{dim }M}$ . Pero esto es imposible ya que $U=\varphi(M)$ es compacto por continuidad.

Gracias por su respuesta. Mis disculpas por responder tarde. Estoy escribiendo la definición de límite de M del libro de texto usando LaTex y todavía no me he acostumbrado a escribirlo rápido porque todavía soy muy nuevo en eso. De todos modos, del texto de Andrew Browder: Decimos que $\ p\$ se encuentra en el límite de M, y escribe $\ p\in \partial M, \$ si $\ p \in\ M\$ y existe una coordenada local $\alpha \$ en $\ p\$ tal que $\ V_{\alpha} \subset \mathbb{R}_{+}^{k}, \$ y $\ p\$ = $\ \alpha(u)\$ con $u$ = $\ (u_1,...u_{k-1}, 0) \$ .
Gracias por la referencia. Supongo que todas las superficies cuádricas estándar que encontramos en un texto típico de Geometría analítica/cálculo vectorial pueden considerarse múltiples cerradas. Y cuando se refieren al límite de esas superficies, se refieren al límite topológico. ¿Es eso correcto?

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