Muestre que existe un mapa suave F:M→MF:M→MF: M \to M que es homotópico a la identidad y no tiene puntos fijos.

Question

Muestre que existe un mapa suave F:M→MF:M→MF: M \to M que es homotópico a la identidad y no tiene puntos fijos.

colectores
Matemáticas
colectores suaves
geometría diferencial
topología diferencial

tattwamasi amrutam

Pregunta (Problema 9-5 de la Introducción a las variedades suaves de Lee ): Supongamos $M$ es un colector suave y compacto que admite un campo vectorial suave que no se desvanece en ninguna parte. Demostrar que existe un mapa uniforme $F: M \to M$ que es homotópica a la identidad y no tiene puntos fijos.

Mi intento: dejar $V$ Sea el campo vectorial suave que no se desvanece. Desde $M$ es compacto, $V$ Esta completo. Por lo tanto, hay un flujo global $\theta: \mathbb{R} \times M \to M$ tal que para todos $t,s \in \mathbb{R}$ y $p \in M ,\theta (t,\theta(s,p))=\theta(t+s,p)$ y $\theta(0,p)=p.$

Desde $p\in M$ es un punto regular de $V$ , existe un barrio $U_p$ en el cual $V$ tiene representación coordinada $\frac{\partial}{\partial s^1}$ . Elige un barrio más pequeño $V_p$ tal que $\theta(t,x)=x+(t,0,\ldots)$ para todos $0 \le t \le t_p.$ Desde $\{V_p\}_{p \in M}$ es una cubierta abierta para $M$ y $M$ es compacto, existe una subcubierta suave, digamos $\{V_{p_1},\ldots,V_{p_n}\}$ . Dejar $T=\min \{t_{p_1},\ldots,t_{p_n}\}.$ Entonces $\theta_T: M \to M$ es un mapa uniforme que no tiene puntos fijos y $H:M \times I \to M$ dada por $H(x,t)=\theta(tT,x)$ es la homotopía requerida para la identidad.

Tengo un pequeño problema aquí. No estoy seguro de cómo puedo elegir los barrios. $V_p$ la forma en que lo hice. Sin embargo, intuitivamente parece ser cierto.

¡Gracias por la ayuda!

Respuestas (2)

Muestre que existe un mapa suave F:M→MF:M→MF: M \to M que es homotópico a la identidad y no tiene puntos fijos.

antonio carapetis · Answer 1

Tu argumento es bueno. Así es como elegiría apropiado $V_p$ y $t_p$ :

Fijar coordenadas $(x,y^1,y^2,\ldots)$ en $U_p$ tal que $\partial/\partial x = V$ . Desde $U_p$ es un barrio de $p$ , contiene alguna bola de coordenadas $B_r(p)$ . Dado que las soluciones de flujo son únicas, $\theta(t,x,y) = (x+t,y)$ es cierto siempre que $(x,y)$ y $(x+t,y)$ ambos están en el dominio del gráfico de coordenadas; y por la desigualdad triangular sabemos $(x+t,y) \in B_r(p)$ cuando sea $|t|<r/2$ y $(x,y)\in B_{r/2}(p).$ Así podemos tomar $V_p = B_{r/2}(p)$ y $t_p = r/2$ .

Bashar Saleh · Answer 2

Creo que su intuición es correcta, pero creo que hay formas más fáciles: Wlog, podemos suponer que $F: M\to M$ , $F(m) = \theta(1,m)$ satisface $F(m)\neq m$ (¿por qué?).

Entonces $F$ es biyectiva (ya que tiene una inversa dada por $G(m) = \theta(-1,m)$ ). Es $F$ ¿liso? Por supuesto, es sólo la restricción de $\theta$ a $\{1\}\times M$ . Además $\theta|_{I\times M}$ servirá como una homotopía entre la identidad y $F$ .

Lo siento, quizás esto sea más adecuado como comentario ya que no respondo a tu pregunta, pero no tengo suficiente reputación para comentar.

Para ser justos, su Wlog oculta el punto principal del argumento, incluido el uso crucial de la suposición de compacidad.

Muestre que existe un mapa suave F:M→MF:M→MF: M \to M que es homotópico a la identidad y no tiene puntos fijos.

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