Colectores lisos abstractos vs Colectores lisos incrustados

Hay una razón por la cual la definición no requiere que el mapa$\phi$en un gráfico$(U,\phi)$sea ​​un difeomorfismo: eso requeriría saber ya que$M$es una variedad suave, pero como eso es lo que se está definiendo, la definición se volvería circular.

Sin embargo, una vez que un colector suave$(M,\mathcal{A})$está definido, entonces uno puede avanzar y definir funciones suaves en subconjuntos abiertos de$M$. Es decir, para cada conjunto abierto$W \subset M$, Una función$\xi : W \to \mathbb{R}^k$es suave si y solo si para cada gráfico$(U,\phi)$en el atlas$\mathcal{A}$el mapa$\xi \circ \phi^{-1} : \phi(W \cap U) \to \mathbb{R}^k$es suave. Y luego, aplicando la definición de un atlas liso, ahora es un lema fácil probar que si$(U,\phi)$es un gráfico en el atlas$\mathcal{A}$entonces$\phi : U \to \mathbb{R}^m$es de hecho suave.

No tendría sentido que la definición requiera$\phi$y$\psi$ser difeomorfismos, porque no puedes definir qué significa para ellos ser difeomorfismos hasta que ya tengas una estructura suave en$M$. Esto contrasta con la situación de las variedades incrustadas, donde puede definir lo que significa que un mapa sea suave utilizando la noción habitual de diferenciación de mapas entre subconjuntos de$\mathbb{R}^n$.

Dicho esto, cualquier gráfico de una variedad suave es un difeomorfismo. Esto es bastante inmediato a partir de las definiciones: para que un mapa entre variedades sea suave, eso significa que sus composiciones con gráficos dan mapas suaves entre subconjuntos abiertos de$\mathbb{R}^n$. Pero en el caso de que su mapa sea en sí mismo un gráfico (o el inverso de un gráfico), estas composiciones son exactamente los mapas de la forma$\psi \circ \phi^{-1}$que la definición requiere que sean difeomorfismos (en particular, suaves).

El punto es que, dado que su variedad está definida de manera abstracta y no incrustada, no es completamente obvio lo que quiere decir con difeomórfico (¡antes de definir la estructura suave!).

En el caso de una subvariedad incrustada, solo puede preguntar que$\phi$y$\psi$se extiende a los difeomorfismos definidos en subconjuntos abiertos del espacio ambiental, pero en la segunda definición no puede hacer eso. Así que lo que haces es definir un mapa$f: M \to \mathbb{R}^n$para ser suave si en cada dominio de gráfico$(U,\phi)$, el mapa$f \circ \phi^{-1}$es suave.

Para poder hacer eso de manera consistente, necesita la condición de que los mapas de transición sean suaves y, a posteriori, sí, los gráficos sean suaves para la estructura suave que inducen.