Un ejemplo para la partición de la unidad para un círculo

Question

Un ejemplo para la partición de la unidad para un círculo

colectores
Matemáticas
cubriendo espacios
paracompacidad
topología general
topología diferencial

Ali Pedram

Estoy tratando de entender qué significa la partición de la unidad y tratando de entender algunos ejemplos. Tengo experiencia en ingeniería, por lo que la mayoría de las discusiones abstractas son un poco difíciles de entender sin una explicación clara y ejemplos. Tampoco tengo educación formal en topología, sin embargo, realmente quiero estudiar este tema por mi cuenta. El problema se debe a un malentendido de algunos conceptos por lo que se agradece una explicación clara.

En esta página se da un ejemplo para una partición de la unidad en un círculo $S^1$ como $\{sin^2(\theta/2),cos^2(\theta/2)\}$ subordinado a la cubierta $\{(0,2\pi),(-\pi,\pi)\}$ .

El conjunto de funciones $\{sin^2(\theta/2),cos^2(\theta/2)\}$ suman 1, por lo que se cumple esa condición. Sin embargo, si denotamos el espacio topológico por $X$ y las funciones por $\epsilon_i$ , según la definición:

Una partición de unidad está subordinada a una cubierta abierta. $\{U_i\}$ de $X$ si cada uno $\epsilon_i$ es cero en el complemento de $U_i$ .

Si parametrizamos $S^1$ por un ángulo en el rango $0 \leq \theta < 2\pi$ , entonces significa que la función $\epsilon_1 = sin^2(\theta/2)$ debe ser cero en el complemento de $U_1 = (0,2\pi)$ . El complemento es $U_1^c = 0$ , por eso $\epsilon_1$ se desvanece $U_1^c$ . Asimismo, la función $\epsilon_2 = cos^2(\theta/2)$ debe ser cero en el complemento de $U_2 = (-\pi,\pi)$ . En primer lugar, ¿cuál es el complemento de $U_2$ ¿en este contexto? Lo es $U_2^c = [\pi,2\pi)$ ?! Si es así, entonces hay muchos puntos en $U_2^c$ que arrojan valores distintos de cero para $\epsilon_2$ ! ¿Qué estoy haciendo mal aquí?

Afelio

Hay un pequeño abuso de notación:

U_{i}

$U_i$ debe definirse como un subconjunto abierto de su variedad, es decir, como un subconjunto abierto de

S^{1}

$S^1$ . Entonces

U_{1} = {e^{i x}, 0 < x < 2 π}

$U_1 = \{e^{ix},\, 0 < x < 2\pi\}$ y una expresión similar para

U_{2}

$U_2$ .

Ali Pedram

Son

U_{1}

$U_1$ y

U_{2}

$U_2$ funciones? ¡Pensé que son algunos intervalos en la línea real! Pero mi pregunta principal es, ¿cuál es el complemento de

U_{1}

$U_1$ y como funciona la funcion

s i n^{2} (θ / 2)

$sin^2(\theta/2)$ es cero en este complemento? Por favor, dé una explicación paso a paso si puede. ¡No soy bueno en estas cosas!

Afelio

¡No, no son funciones! Son subconjuntos del círculo . Entonces el complemento de

U_{1}

$U_1$ es

e^{i 0} = 1

$e^{i0}= 1$ y el correspondiente

θ

$\theta$ es cero (mod

2 π

$2\pi$ ) para que la función

\sin^{2} θ / 2

$\sin^2{\theta/2}$ es

\sin^{2} 0 / 2 = 0

$\sin^2{0/2}=0$ .

Ali Pedram

Gracias por el comentario. Si el espacio bajo investigación es

S^{1} : e^{i θ} |, 0 \leq θ < 2 π

$S^1: e^{i\theta}|, 0 \leq \theta <2\pi$ , entonces como dijiste, el complemento de

U_{1} = (0, 2 π)

$U_1=(0,2\pi)$ es 0. Por lo tanto, la función

ϵ_{1}

$\epsilon_1$ es cero en el complemento. ¿Cuál es el complemento de

U_{2} = (- π, π)

$U_2 = (-\pi,\pi)$ ? Lo es

U_{2}^{c} = [π, 2 π)

$U_2^c = [\pi,2\pi)$ ? Porque la función

ϵ_{2}

$\epsilon_2$ debe ser cero en

U_{2}^{c}

$U_2^c$ y no veo cómo sucede.

Jack Lee

Cabe señalar que la definición de "subordinado a una cubierta" dada en la página vinculada de PlanetMath (cada

ε_{i}

$\varepsilon_i$ es cero en el complemento de

U_{i}

$U_i$ ) es muy poco estándar. La definición estándar es la que se da en Wikipedia : el soporte de

ε_{i}

$\varepsilon_i$ está contenido en

U_{i}

$U_i$ . Con esta definición, la partición de unidad para el círculo dada en el ejemplo no está subordinada a la cobertura dada.

Respuestas (1)

Un ejemplo para la partición de la unidad para un círculo

Hay un pequeño abuso de notación: $U_i$ debe definirse como un subconjunto abierto de su variedad, es decir, como un subconjunto abierto de $S^1$ . Entonces $U_1 = \{e^{ix},\, 0 < x < 2\pi\}$ y una expresión similar para $U_2$ .
Son $U_1$ y $U_2$ funciones? ¡Pensé que son algunos intervalos en la línea real! Pero mi pregunta principal es, ¿cuál es el complemento de $U_1$ y como funciona la funcion $sin^2(\theta/2)$ es cero en este complemento? Por favor, dé una explicación paso a paso si puede. ¡No soy bueno en estas cosas!
¡No, no son funciones! Son subconjuntos del círculo . Entonces el complemento de $U_1$ es $e^{i0}= 1$ y el correspondiente $\theta$ es cero (mod $2\pi$ ) para que la función $\sin^2{\theta/2}$ es $\sin^2{0/2}=0$ .
Gracias por el comentario. Si el espacio bajo investigación es $S^1: e^{i\theta}|, 0 \leq \theta <2\pi$ , entonces como dijiste, el complemento de $U_1=(0,2\pi)$ es 0. Por lo tanto, la función $\epsilon_1$ es cero en el complemento. ¿Cuál es el complemento de $U_2 = (-\pi,\pi)$ ? Lo es $U_2^c = [\pi,2\pi)$ ? Porque la función $\epsilon_2$ debe ser cero en $U_2^c$ y no veo cómo sucede.
Cabe señalar que la definición de "subordinado a una cubierta" dada en la página vinculada de PlanetMath (cada $\varepsilon_i$ es cero en el complemento de $U_i$ ) es muy poco estándar. La definición estándar es la que se da en Wikipedia : el soporte de $\varepsilon_i$ está contenido en $U_i$ . Con esta definición, la partición de unidad para el círculo dada en el ejemplo no está subordinada a la cobertura dada.

Henno Brandsma · Answer 1

la cubierta de $S^1$ que se da es engañosa en mi opinión.

el medio por $U_1 = (0,2\pi)$ el conjunto abierto $U_1:= \{e^{ix}: x \in (0,2\pi)\}$ , en realidad. Entonces se están refiriendo al ángulo único en $[0,2\pi)$ que define el punto en $S^1$ . Del mismo modo para $U_2$ .

si miramos $\sin^2(\frac\theta 2)$ (el valor de $e^{i\theta} \in S^1$ ), en efecto vemos que es es $0$ si y si $\frac\theta 2$ es un múltiplo entero de $\pi$ , así que si $\theta$ es un múltiplo entero de $2\pi$ , y tan solo $0$ cuando $\theta \notin U_1$ (recordar que $\theta$ se elige en $[0,2\pi)$ (ángulo principal)).

Ahora razona de manera similar para $f(e^{i \theta})=\cos^2(\frac \theta 2)$ : $0$ solo para $\frac \theta 2$ de la forma $\frac \pi 2 + k\pi, k \in \Bbb Z$ entonces $\theta$ de la forma $\pi + k 2 \pi, k \in \Bbb Z$ y no hay tal valor en $U_2$ .

Tenga en cuenta que $U_2$ es $S^1$ menos el único punto donde está la función $0$ (es decir $(-1,0)$ ) también, al igual que $U_1$ es.

Gracias por tu respuesta. En sus argumentos afirma que, por ejemplo, para $sin^2(\theta/2)$ para ser cero debemos tener $\theta=2\pi k$ y esa condición no se cumple para $\theta \in U_1$ . Sin embargo, lo que no entiendo es el siguiente paso que das. El hecho de que $\theta=2\pi k$ está satisfecho por ALGUNOS puntos $\theta \notin U_1$ no significa que para TODOS los puntos $\theta \notin U_1$ Debemos tener $sin^2(\theta/2)=0$ . Lo cual es parte de la definición. ¿Es eso correcto?
Entonces, básicamente, la declaración dada en planetmath.org/partitionofunity es incorrecta. ¿Es eso correcto?
@AliPedram no, es correcto de acuerdo con la definición cuando comprende qué son realmente los conjuntos abiertos.
Además, ¿qué quiere decir con "Allí el soporte no está contenido en $U_2$ "? El soporte es el conjunto de todos los puntos que dan una salida distinta de cero para una función. Hay muchos puntos en $U_2 = (-\pi,\pi)$ que dan $cos^2(\theta/2) \neq 0$ . ¿Qué quisiste decir exactamente?
@AliPedram algunas definiciones de partición de unidad requieren que el apoyo de $f$ está contenido en el conjunto abierto. El soporte de una función. $f$ es igual $\overline{\{x\mid f(x) \neq0\}}$ . Para ambas funciones el soporte es $S^1$ . Así que intenta que no obedezcan a la definición más estricta.
Entonces, ¿cómo $cos^2(\theta/2)=0$ para todos los puntos del círculo excepto el que has mencionado?!

Un ejemplo para la partición de la unidad para un círculo

Ali Pedram

Afelio

Ali Pedram

Afelio

Ali Pedram

Jack Lee

Respuestas (1)

Henno Brandsma

Ali Pedram

Ali Pedram

Henno Brandsma

Ali Pedram

Henno Brandsma

Ali Pedram

Henno Brandsma

Ali Pedram

Henno Brandsma

Algunos ejemplos y no ejemplos de variedades topológicas (con límite o no)

Una intuición para la paracompactidad

¿Los subconjuntos múltiples, ahora con topología subespacial, son subvariedades inmersas (regulares/incrustadas)?

¿Los subconjuntos de variedades que son subvariedades inmersas (regulares/empotrados) son subvariedades?

Obtener un autohomeomorfismo del cilindro a partir de un autohomeomorfismo del círculo

Topología de subvariedades de variedades con límite

Confusión sobre la definición de variedad con límite

el límite geométrico de una variedad

¿Cómo te imaginas la forma de una variedad S2×S1S2×S1S^2 \times S^1?

Extensión del grado de Brouwer Lema