¿Es una figura ocho una variedad?

Dejar S ser imagen de función de F : ( − π , π ) → R 2 definido F ( t ) = ( pecado ⁡ 2 t , pecado ⁡ t ) . Que es figura ocho. Ahora bien, no es múltiple porque hay auto-intersección. Pero es subvariedad sumergida de dimensión 1. Lo que implica que es una variedad suave. ¿No es esto una contradicción? ¿dónde me estoy equivocando?

¿Por qué es una subvariedad sumergida?
¿Qué definición de "múltiple" estás usando?
Consulte wikipedia en "propiedades matemáticas".
En mi opinión, el concepto de una subvariedad sumergida conduce a malentendidos como en su pregunta. Vea mi respuesta a math.stackexchange.com/q/3899905 .

Respuestas (1)

La figura en ocho, con la topología estándar heredada de R 2 , no es una variedad porque en el punto de cruce no hay vecindad homeomorfa a algún espacio euclidiano.

Sin embargo, la figura en ocho ES una variedad con la topología inducida por la inmersión F , porque en esta topología existe una vecindad del punto de cruce que es homeomorfa a un intervalo abierto en la línea real (la topología inducida por F implica que la figura ocho es homeomorfa a ( − π , π ) ).

¡Aaah! Muchas gracias. Tenía esta idea fija de que la autointersección => No es una variedad. Tiene sentido. la subvariedad inmersa tiene flexibilidad de qué tipo de topología podemos imponer a diferencia de la subvariedad incrustada. ¡Este ejemplo me hará recordar eso!
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