¿Cómo te imaginas la forma de una variedad S2×S1S2×S1S^2 \times S^1?

Cualquier variedad de productos$M \times N$puede visualizarse como un espacio de configuración para un par de partículas, una de las cuales viaja en$M$y uno de los cuales viaja$N$. Entonces$S^2 \times S^1$puede visualizarse como el espacio de configuración de un par de partículas, una de las cuales viaja sobre una esfera y otra sobre un círculo.

Hay una visualización alternativa de la siguiente manera. Primero uno piensa en$S^2 \times I$como una esfera engrosada (como un$3$-anillo dimensional), con una esfera límite interior$S^2 \times \{ 0 \}$y una esfera límite exterior$S^2 \times \{ 1 \}$. Entonces uno identifica los dos límites. (Editar: no noté que ya habías hablado sobre esta visualización. Creo que puede ser útil).

En general, probablemente diferentes personas obtendrán diferentes cosas de diferentes visualizaciones. Usa lo que funcione para ti.

Como dijeron Qiaochu Yuan y Mariano Suarez-Alvarez, encuentro la forma más fácil de pensar en$\mathbb{S}^2\times \mathbb{S}^1$es como una esfera engrosada con dos componentes de contorno identificados.

En este sentido, también se podría pensar en$\mathbb{S}^2\times\mathbb{S}^1$como$(\mathbb{S}^2\times\mathbb{R}) / \mathbb{Z}$, dónde$\mathbb{Z}$actúa por traslación sobre el segundo factor. es facil de visualizar$\mathbb{S}^2\times\mathbb{R}$--- solo es un pinchazo$\mathbb{R}^3$.

A veces, sin embargo, encuentro útil pensar en$\mathbb{S}^2\times\mathbb{S}^1$como un espacio de lente (degenerado), obtenido pegando dos torii sólidos a través de la clase de mapeo de identidad de$T^2$. Dado que un disco pegado a otro disco da una esfera y la identidad envía meridiano a meridiano, pegando discos de compresión a lo largo de sus límites, puedes ver que esto da una familia de esferas parametrizadas por un círculo.

Una esfera gruesa con sus dos componentes de contorno identificados.

Uno podría "imaginarlo" como un "toroide" de 4 dimensiones formado al "girar" una esfera en un espacio 4D en una forma similar a un toro cuyas secciones transversales perpendiculares (al círculo de revolución) son esferas (o pares de esferas) . La superficie de dicho "toro", para ser precisos, que tiene 3 dimensiones. Aunque uno realmente no puede visualizar 4D. Otra forma es imaginar un espacio que sea "como una esfera" en 2 dimensiones (es decir, moverse en estas dos dimensiones solamente es como moverse en la superficie de una esfera) y "lineal" (como 3D convencional/" "espacio plano") en la tercera, pero tal que después de viajar una distancia finita a lo largo de la tercera, terminas justo donde comenzaste, aunque las otras dos dimensiones también tienen esta propiedad,

Tenga en cuenta que$S_1 \times S_1$puede pensarse como un toro normal de la misma manera: piense en un círculo, girado alrededor de un eje que no lo cruza, y en su propio plano.

¿Te funciona geométricamente para, cuando ves$A \times B$, imagina los dos espacios sucediendo a la vez pero por separado? Como si cada mano pudiera controlar uno.

Por ejemplo, imagina que tienes dos discos unitarios uno al lado del otro. Podrían ser dos palancas que controlen conjuntamente un robot, un avión a reacción, una bola de demolición, etc. (El eje que llega a su mano no está modelado). Por ejemplo, el acelerador de un avión es$(0,1)$como lo es el gobierno de un barco; un cabrestante, un cabrestante y un carrete son$S^1$; y una palanca de cambios en un automóvil se mueve en una estructura 1-D ramificada con 0.

" Diseño manual " por Manual_Dogleg.svg : trabajo derivado de Syed : DoktorMandrake - Manual_Dogleg.svg . Con licencia de dominio público a través de Wikimedia Commons .

Ahora que lo pienso, creo que el yugo de un piloto de avión se mueve no solo en un disco sino de un lado a otro, y se puede girar.

En cualquier caso, si tuviera una mano en un cabrestante$S^1$y la otra mano en un trackpad$S^2$, entonces su conjunto de control sería$S^1 \times S^2$.

Solo agrego esto porque me sorprende que nadie lo haya mencionado. Esta variedad también puede considerarse como la de tres esferas.$S^{3}$con un mango adjunto.

Tu puedes pensar en$S^{3}$como un espacio de 3 cerrado, elimine 2, 3 bolas dentro de él e identifique sus límites. Entonces, si "entra" en una bola, sale por la otra. Esto también describe un solo agujero de gusano en un universo espacialmente cerrado. Esto se describe, por ejemplo, en un artículo de Gibbons y Hawking.