Igual que este pero ahora con topología subespacial.
A partir de aquí , sabemos que los subconjuntos múltiples no solo no son necesariamente subvariedades regulares/incrustadas, sino que tampoco son necesariamente subvariedades inmersas.
Ahora pregunto:
Dejar y ser conjuntos con . Dejar convertirse en un suave -múltiple y convertirse en un suave -múltiple, pero no es necesariamente un regular suave/incrustado -subvariedad de . (Yo creo no es igual , si alguna vez.)
Además ahora : asumir tiene la topología del subespacio.
Si de alguna manera tiene sentido decir es una subvariedad sumergida suave de , entonces es un suave regular/incrustado -subvariedad de ?
Bien, sobre las múltiples estructuras:
' un regular/un incrustado -subvariedad ' --> Como recuerdo: dada una estructura múltiple suave en y un subconjunto , hay exactamente 1 estructura de variedad uniforme en st esto tiene. Así que supongo que no hay problema aquí.
' es una subvariedad sumergida suave de -colector y es un suave -manifold' --> Esto puede ser un poco extraño, como si tal vez no tuviera sentido hablar de como una subvariedad sumergida suave de si no se actualiza automáticamente de inmersión suave a regular/incrustado suave tan pronto como en realidad es un colector suave, en caso de w/c probar esto por favor. Pero creo que debería tener sentido porque creo que una subvariedad inmersa de una variedad podría ser una variedad bajo una estructura múltiple/topológica diferente.
Nota : En An Introduction to Manifolds de Tu, dice
'Si al conjunto subyacente de una subvariedad inmersa se le da la topología del subespacio, ¡entonces el espacio resultante no necesita ser una variedad en absoluto!'
En este caso, estoy preguntando : si el espacio resultante es en realidad un múltiple con la topología del subespacio, ¿actualiza/promueve inmerso a incrustado/regular?
Editar: explicación adicional: mi nueva pregunta es sobre si una subvariedad inmersa se actualiza o promueve o no a una subvariedad incrustada/regular, asumiendo que el espacio topológico subyacente puede volverse múltiple por sí solo, como no necesariamente relacionado con el espacio ambiental/variedad principal. esta pregunta difiere de la anterior en la que tomo en cuenta solo el conjunto subyacente en lugar del espacio topológico subyacente . si solo es un conjunto subyacente, entonces podemos seguir Lee Prop 5.2 y Prop 5.18 o simplemente podemos hacer esto .
Observación : Basado en la respuesta: Resulta que la inmersión , si es un difeomorfismo local sobre la imagen , es decir es un incrustado suave/regular -subvariedad de y luego es un difeomorfismo local... pero espera, creo en la respuesta es igual a la en mi pregunta, muuuy... diferente supongo...
Según mi leal entender de su pregunta, está preguntando lo siguiente:
Pregunta 1. Supongamos que son variedades suaves y es una inmersión tal que pasa a ser una subvariedad suave de (cuando está equipado con la topología de subespacio, que es un valor predeterminado en esta configuración). ¿Se sigue que es una incrustación?
La respuesta a esta pregunta es negativa. El ejemplo más simple es , y .
Es posible, sin embargo, que lo que tengas en mente sea diferente:
Pregunta 2. Supongamos que son variedades suaves y es una inmersión inyectiva tal que pasa a ser una subvariedad suave de (cuando está equipado con la topología subespacial). ¿Se sigue que es una incrustación?
Esta pregunta tiene respuesta positiva, de hecho, es un difeomorfismo en esta situación (como se deduce del teorema de mapeo inverso).
Por último, mi sugerencia es evitar la terminología "subvariedad sumergida" cuando solo está aprendiendo topología diferencial. En cambio, hable de "inmersiones" e "incrustaciones" de variedades suaves, así como de "subvariedades". Tu realmente está perjudicando a sus lectores al introducir la terminología "una subvariedad sumergida" en la etapa inicial. Pero esto es solo mi opinión.
Editar. Parece que la lectura correcta de la pregunta es:
Pregunta 3. Supongamos que son variedades suaves, que es una inmersión y eso imagen de (con la topología del subespacio) es una variedad topológica. ¿Es cierto que es una subvariedad suave de ?
Esta también tiene una respuesta positiva y la prueba es similar a la del caso de la Pregunta 2.
Paso 1. La variedad topológica tiene la misma dimensión como .
Prueba. Supongamos que no. Dejar ser los subconjuntos abiertos de tal que es una incrustación para cada , dónde es un conjunto de índices contables. (Mi definición de variedades requiere que sean 2nd contables).
En particular, es 1-1. Así, por el teorema de la invariancia del dominio, para cada , en ninguna parte es denso . De este modo, es una unión de muchos subconjuntos contablemente densos en ninguna parte, lo que contradice el teorema de Baire.
Paso 2. es un suave -subvariedad dimensional de .
Prueba. Para cada como arriba, de nuevo, por el teorema de la invariancia del dominio, está abierto en . pero cada uno es una subvariedad suave de . Por lo tanto, para cada hay un barrio de en y un difeomorfismo ( es la dimensión de ) enviando a un subconjunto abierto de . De este modo, es una subvariedad suave de . qed
Observación : Resulta que es un difeomorfismo local sobre la imagen , es decir es un difeomorfismo local.
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moishe kohan
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