¿Los subconjuntos múltiples, ahora con topología subespacial, son subvariedades inmersas (regulares/incrustadas)?

Igual que este pero ahora con topología subespacial.

A partir de aquí , sabemos que los subconjuntos múltiples no solo no son necesariamente subvariedades regulares/incrustadas, sino que tampoco son necesariamente subvariedades inmersas.

Ahora pregunto:

Dejar A y B ser conjuntos con A ⊆ B . Dejar B convertirse en un suave b -múltiple y A convertirse en un suave a -múltiple, pero A no es necesariamente un regular suave/incrustado k -subvariedad de B . (Yo creo k no es igual a , si alguna vez.)

Además ahora : asumir A tiene la topología del subespacio.

Si de alguna manera tiene sentido decir A es una subvariedad sumergida suave de B , entonces es A un suave regular/incrustado k -subvariedad de B ?

Bien, sobre las múltiples estructuras:

  1. ' A un regular/un incrustado k -subvariedad B ' --> Como recuerdo: dada una estructura múltiple suave en B y un subconjunto A ⊆ B , hay exactamente 1 estructura de variedad uniforme en A st esto tiene. Así que supongo que no hay problema aquí.

  2. ' A es una subvariedad sumergida suave de b -colector B y A es un suave a -manifold' --> Esto puede ser un poco extraño, como si tal vez no tuviera sentido hablar de A como una subvariedad sumergida suave de B si no se actualiza automáticamente de inmersión suave a regular/incrustado suave tan pronto como A en realidad es un colector suave, en caso de w/c probar esto por favor. Pero creo que debería tener sentido porque creo que una subvariedad inmersa de una variedad podría ser una variedad bajo una estructura múltiple/topológica diferente.

Nota : En An Introduction to Manifolds de Tu, dice

'Si al conjunto subyacente de una subvariedad inmersa se le da la topología del subespacio, ¡entonces el espacio resultante no necesita ser una variedad en absoluto!'

En este caso, estoy preguntando : si el espacio resultante es en realidad un múltiple con la topología del subespacio, ¿actualiza/promueve inmerso a incrustado/regular?

Editar: explicación adicional: mi nueva pregunta es sobre si una subvariedad inmersa se actualiza o promueve o no a una subvariedad incrustada/regular, asumiendo que el espacio topológico subyacente puede volverse múltiple por sí solo, como no necesariamente relacionado con el espacio ambiental/variedad principal. esta pregunta difiere de la anterior en la que tomo en cuenta solo el conjunto subyacente en lugar del espacio topológico subyacente . si solo es un conjunto subyacente, entonces podemos seguir Lee Prop 5.2 y Prop 5.18 o simplemente podemos hacer esto .

Observación : Basado en la respuesta: Resulta que la inmersión F : A → B , si es un difeomorfismo local sobre la imagen , es decir F ( A ) es un incrustado suave/regular a -subvariedad de B y luego F : A → F ( A ) es un difeomorfismo local... pero espera, creo C en la respuesta es igual a la A en mi pregunta, muuuy... diferente A supongo...

Respuestas (1)

Según mi leal entender de su pregunta, está preguntando lo siguiente:

Pregunta 1. Supongamos que A , B son variedades suaves y F : A → B es una inmersión tal que F ( A ) pasa a ser una subvariedad suave de B (cuando está equipado con la topología de subespacio, que es un valor predeterminado en esta configuración). ¿Se sigue que F es una incrustación?

La respuesta a esta pregunta es negativa. El ejemplo más simple es B = S 1 ⊂ C , A = R y F ( t ) = mi i t .

Es posible, sin embargo, que lo que tengas en mente sea diferente:

Pregunta 2. Supongamos que A , B son variedades suaves y F : A → B es una inmersión inyectiva tal que C = F ( A ) pasa a ser una subvariedad suave de B (cuando está equipado con la topología subespacial). ¿Se sigue que F es una incrustación?

Esta pregunta tiene respuesta positiva, de hecho, F : A → C es un difeomorfismo en esta situación (como se deduce del teorema de mapeo inverso).

Por último, mi sugerencia es evitar la terminología "subvariedad sumergida" cuando solo está aprendiendo topología diferencial. En cambio, hable de "inmersiones" e "incrustaciones" de variedades suaves, así como de "subvariedades". Tu realmente está perjudicando a sus lectores al introducir la terminología "una subvariedad sumergida" en la etapa inicial. Pero esto es solo mi opinión.

Editar. Parece que la lectura correcta de la pregunta es:

Pregunta 3. Supongamos que A , B son variedades suaves, que F : A → B es una inmersión y eso F imagen de C = F ( A ) (con la topología del subespacio) es una variedad topológica. ¿Es cierto que C es una subvariedad suave de B ?

Esta también tiene una respuesta positiva y la prueba es similar a la del caso de la Pregunta 2.

Paso 1. La variedad topológica C tiene la misma dimensión a como A .

Prueba. Supongamos que no. Dejar tu j , j ∈ j ser los subconjuntos abiertos de A tal que F | tu j es una incrustación tu j → B para cada j ∈ j , dónde j es un conjunto de índices contables. (Mi definición de variedades requiere que sean 2nd contables).

En particular, F | tu j es 1-1. Así, por el teorema de la invariancia del dominio, para cada j , F ( tu j ) en ninguna parte es denso C . De este modo, C es una unión de muchos subconjuntos contablemente densos en ninguna parte, lo que contradice el teorema de Baire.

Paso 2. C es un suave a -subvariedad dimensional de B .

Prueba. Para cada tu j como arriba, de nuevo, por el teorema de la invariancia del dominio, F ( tu j ) está abierto en C . pero cada uno F ( tu j ) es una subvariedad suave de B . Por lo tanto, para cada X ∈ F ( tu j ) hay un barrio W X de X en B y un difeomorfismo h : W X → R b ( b es la dimensión de B ) enviando W X ∩ tu j a un subconjunto abierto de R a ⊂ R b . De este modo, C es una subvariedad suave de B . qed

Observación : Resulta que F es un difeomorfismo local sobre la imagen , es decir F : A → C es un difeomorfismo local.

gracias Moishe Kohan. yo no pregunto tampoco mi pregunta es sobre si una subvariedad inmersa se actualiza/promueve o no a una subvariedad incrustada/regular, suponiendo que el espacio topológico subyacente pueda volverse múltiple por sí solo, como no necesariamente relacionado con el espacio ambiental/la variedad principal. esta pregunta difiere de la anterior en la que tomo en cuenta solo el conjunto subyacente en lugar del espacio topológico subyacente . si solo es un conjunto subyacente, entonces podemos seguir Lee Prop 5.2 y Prop 5.18 o simplemente podemos hacer esto .
Editaré el comentario en la publicación.
pero de todos modos voté por el esfuerzo. Supongo que sería grosero/desagradecido si no lo hiciera. Además, no estoy empezando a aprender topología diferencial/geometría diferencial. Ya he estado leyendo recientemente libros de geometría complejos. pero gracias de cualquier manera
@BCLC Ya veo. Asumes que tu subvariedad sumergida es una variedad topológica. Entonces también es una subvariedad suave de B en efecto.
¿porque?    
taaaan que no me notificaste de la edición. de todos modos gracias Moishe Kohan!
Moishe Kohan, es el F ¿ Describes en realidad un difeomorfismo local en la imagen ? me doy cuenta de la F tiene propiedades similares: F ( tu j ) es una subvariedad incrustada/regular suave de rango B , F ( tu j ) está abierto en la imagen C y luego finalmente C es una subvariedad empotrada/regular suave de rango B
@BCLC: Sí, lo es.
gracias moishe kohan!
esperar A en mi pregunta es en realidad el C en lugar de la A en tu respuesta?
Prefiero trabajar con inmersiones de variedades y sus imágenes en lugar de la terminología "variedades sumergidas" que es descuidada y solo conduce a la confusión. Entonces, sí, mi C es su "subvariedad sumergida" (que usted llama A ) y mi A es lo que le falta a su pregunta.
Demonios si. Estaba tan sorprendido cuando escuché el término colector sumergido. jajaja. ¡gracias!
¿Los subconjuntos múltiples, ahora con topología subespacial, son subvariedades inmersas (regulares/incrustadas)?
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