¿Los subconjuntos de variedades que son subvariedades inmersas (regulares/empotrados) son subvariedades?

Dejar$(A, \mathscr{A})$y$(B, \mathscr{B})$ser suave$a$y$b$-variedades dimensionales respectivamente y sea$F: A \to F(A)\subseteq B$una inmersión, es decir, un mapa de rango constante$a.$

el comentario de tu

Si al conjunto subyacente de una subvariedad sumergida se le da la topología del subespacio, ¡entonces el espacio resultante no necesita ser una variedad en absoluto!

está diciendo que si dotamos al conjunto$F(A)$con la topología del subespacio entonces$F(A)$puede no ser una variedad (topológica/suave). Sin embargo, eso no significa que no exista una topología donde$F(A)$es un múltiple. En un nivel alto, la topología para$F(A)$se definen por las imágenes de conjuntos abiertos de$A.$Esto asegura que si$F^{-1}$existe localmente será continuo. Los gráficos para$F(A)$se dan tomando el gráfico de coordenadas locales$\phi: U\subseteq A \to \mathbb{R}^a$para$A$y componerlo con$F^{-1}$(esto existe desde$F$es un mapa suave de rango constante entre$A$y$B$) Llegar$\phi \circ F^{-1}: F(U) \subseteq F(A) \to \mathbb{R}^a$que, por la topología construida, es necesariamente continua. Es inverso, por supuesto, existe y es continuo, por lo que puede construir un atlas suave de esta manera. Los detalles se pueden encontrar en la Proposición 5.18 de Lee.

La topología de la subvariedad sumergida$F(A)$no es la topología del subespacio sino una topología que es más fina que la topología del subespacio. Es decir, contiene más conjuntos abiertos que la topología del subespacio. Este es el Ejercicio 5.20 de Lee. Y es precisamente esto lo que comenta Tu. Tu está diciendo que si intentaras usar la topología subespacial en el set $F(A)$encontrará que es posible que no pueda hacer que el conjunto sea una variedad topológica/suave. Sin embargo, si agrega más conjuntos abiertos (crea una topología más fina) de la manera correcta usando la inmersión$F,$al conjunto resultante se le puede dotar de una estructura múltiple suave. Simplemente no tendrá la topología del subespacio. Como tal, es posible que los subdistribuidores sumergidos no se puedan actualizar a los normales.

Rollen responde esto en el chat : Ver Lee Smooth Manifolds Propositions 5.18 y 5.2. (Esto no contradice a Tu porque la forma en que Lee convierte las subvariedades sumergidas en variedades uniformes no es a través de la topología del subespacio).

Entonces, bajo esto, las subvariedades inmersas bien siempre pueden convertirse en variedades suaves y, de hecho, BASARSE EN PARTE en la estructura suave original de la variedad principal / espacio ambiental. Sin embargo, debemos ignorar la estructura/topología topológica y usar esa cierta topología. (Dado que la estructura suave incluye la estructura topológica, esto explica el 'parcialmente' en este párrafo, con suerte).

Por lo tanto, la respuesta es negativa porque, dado que las subvariedades inmersas siempre pueden convertirse en variedades uniformes, en realidad no hay una estructura adicional que ayude a las subvariedades sumergidas en cuestión a actualizarse/promoverse a incrustadas/normales.

Pero espere un minuto : si estamos ignorando la topología (subespacial), entonces parece que también podríamos ignorar cierta topología que estamos usando para sustituir la topología subespacial. Por lo tanto: no necesitamos referirnos a Lee. Simplemente consulte la otra pregunta que habla de topologías que hace, digamos,$\mathbb R^2$en una variedad topológica unidimensional (y, por lo tanto, una variedad suave unidimensional si es posible) a través de la igualdad de las cardinalidades de$\mathbb R$y$\mathbb R^2$. Le preguntaré a Rollen.