Se cumple la siguiente derivada funcional:
Pregunta: ¿Qué es
sé que debería conseguir
No puede ser que estemos tratando y como independiente porque si tuviera que tomar la derivada funcional wrt , tendría que mover el punto de sobre a que me dará
es decir, la derivada funcional da las ecuaciones de Euler-Lagrange.
Entonces, ¿cómo puedo llevar la derivada funcional de una escritura funcional a la derivada de una función?
Contrariamente a su afirmación cerca del final de su pregunta, afirmo que la derivada temporal del campo se trata como un argumento "independiente" del Lagrangiano. Trataré de convencerte de esto mostrándote cómo esta independencia lleva a que todo funcione como tú crees que debería. Algunos de los puntos clave se encuentran al final, así que lea hasta el final antes de sucumbir al escepticismo.
En aras de la simplicidad, supongamos desde el principio que estamos considerando una teoría clásica de campos . Dejar denote el conjunto de campos admisibles en esta teoría. Denotamos el argumento del primer campo con y el segundo argumento con , entonces escribimos como siempre.
Bien, ahora pasemos al Lagrangiano. Para describir esto correctamente, imagina tomar el fijo el argumento de un campo en nuestra teoría, entonces esto produce una función de valor real de una sola variable real . Suponer que denota el conjunto de tales funciones. Entonces el Lagrangiano se puede definir como un funcional . En otras palabras, toma en dos funciones que mapean y genera una función que mapea . Etiquetamos el primer argumento sugestivamente por y el segundo argumento sugestivamente por , pero en principio, se puede evaluar en cualquier campo y que uno elige y escribe, por ejemplo . Afirmo que las definiciones de los derivados funcionales relevantes son las siguientes:
Ahora, supongamos que tenemos una teoría descrita por una densidad lagrangiana que es una función local del campo y sus primeras derivadas. Entonces la densidad lagrangiana se define como una función y, como anticipamos que pondremos los valores del campo y sus derivados en los argumentos de la densidad lagrangiana, etiquetamos sus tres argumentos con los símbolos . los simbolos y se supone que indican sugerentemente que los argumentos de la densidad lagrangiana están destinados a ser evaluados en los valores de un campo y su derivada de tiempo y espacio. Esto es, por supuesto, un poco de abuso de notación ya que generalmente se reserva como un símbolo para el campo, una función , no para los valores del campo. Pero mientras tengamos presente este abuso de la notación, no debemos confundirnos. Entonces tenemos
Esta respuesta puede verse como un complemento de la respuesta correcta de joshphysics, posiblemente enfatizando cosas ligeramente diferentes y usando palabras ligeramente diferentes.
Antes de definir las derivadas funcionales/variacionales en el formalismo lagrangiano, es crucial comprender exactamente qué variables son independientes entre sí y cuáles no. En otras palabras, ¿qué variables podemos variar libremente y cuáles no?
Esto es más fácil de entender en la mecánica de puntos (PM), consulte, por ejemplo, esta publicación de Phys.SE. Aquí nos centraremos en teoría del campo dimensional (FT) con dimensiones espaciales y una dimensión temporal.
Supongamos por simplicidad que solo hay un campo (que por razones semánticas llamaremos campo de posición). El campo es entonces una función . También hay un campo de velocidad. .
I) Sea dado un instante de tiempo arbitrario pero fijo . El Lagrangiano (instantáneo) es un funcional local
dónde denota derivado espacial (en oposición a temporal). Aquí es finito para un FT local, y para una FT relativista. La densidad lagrangiana es una función de las variables enumeradas en la ecuación (1).
El (instantáneo) Lagrangiano (1) es un funcional tanto de la posición instantánea y la velocidad instantanea en el instante . Aquí y son variables independientes . Más precisamente, son perfiles independientes (distribuidos espacialmente), o en otras palabras, funciones independientes sobre el -espacio. El (instantáneo) Lagrangiano (1) puede en principio también depender explícitamente de . Nótese que el Lagrangiano (instantáneo) (1) no depende del pasado ni el futuro .
Por lo tanto, tiene sentido definir diferenciaciones funcionales de igual tiempo como
Y tiene sentido definir el momento canónico como
donde se entiende implícitamente que la posición se mantiene fijo en la diferenciación de velocidad (3). En el caso, la definición de momento de la teoría de campo (3) se convierte en
En el caso, la definición de momento de la teoría de campo (3) se convierte simplemente en una derivada parcial
II) Finalmente integremos con el tiempo . El funcional de acción dice:
Aquí la derivada del tiempo depende de la funcion .
En particular, no tiene sentido variar de forma independiente wrt. a la velocidad en la acción (6) manteniendo la posición fija.
Consulte también esta publicación Phys.SE relacionada.
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