¿Cómo calcular la derivada funcional correctamente?

Una buena forma de calcular las derivadas funcionales es usar el concepto de la derivada de Gateaux de la siguiente manera:

$$\frac{d}{d\epsilon}S[\phi+\epsilon \eta]\bigg|_{\epsilon=0} = \int d^4x\frac{\delta S}{\delta \phi} \eta$$

En tu caso,

$$S[\phi+\epsilon \eta]= \int d^4x \ \bigg\{\frac{1}{2}\big((\partial \phi)^2 + 2\epsilon (\partial_\mu\phi)(\partial^\mu\eta) + \epsilon^2(\partial \eta)^2\big)$$ $$+ \frac{1}{2}m^2\big(\phi^2+2\epsilon \eta\phi+\epsilon^2\eta^2\big)+ V(\phi+\epsilon \eta)- J(\phi+\epsilon\eta)\bigg\}$$ Diferenciar y ambientar$\epsilon$a cero rendimientos $$\frac{d}{d\epsilon}S[\phi+\epsilon\eta]\bigg|_{\epsilon=0} = \int d^4x \bigg\{(\partial_\mu\phi)(\partial^\mu\eta) + m^2\phi \eta + V'(\phi)\eta - J\eta\bigg\}$$ Podemos convertir esto en la forma deseada integrando por partes, dando $$\frac{d}{d\epsilon}S[\phi+\epsilon\eta]\bigg|_{\epsilon=0} = \int d^4x\bigg\{-\partial^2\phi + m^2\phi + V'(\phi) - J\bigg\} \eta$$ Por lo tanto, podemos leer $$\frac{\delta S}{\delta \phi} = -\partial^2\phi + m^2 \phi+ V'(\phi) - J$$

Aquí hay una segunda forma de ver el resultado correcto para tomar la derivada funcional de la derivada del espacio-tiempo del campo, que espero sea útil.

Recuerde que la definición de la derivada funcional es

$$\frac{\delta\phi(y)}{\delta\phi(x)}=\delta(y-x) .$$ Sabes que los deltas de Dirac son distribuciones. Es decir, siempre debes pensar en ellos viviendo bajo una integral con alguna función de prueba. Entonces, la definición anterior realmente debería considerarse como $$\frac{\delta}{\delta\phi(x)} \int \phi(y) f(y)\, dy = \int \delta(y-x) f(y)\, dy=f(x)$$ para alguna función arbitraria$f(y)$.

Ahora suponga que tiene la derivada del espacio-tiempo de$\phi$.

$$\frac{\delta}{\delta\phi(x)} \int \partial\phi(y) f(y)\, dy$$ Para entender lo que esto significa, basta con integrar por partes. $$-\frac{\delta}{\delta\phi(x)} \int \phi(y)\, \partial f(y)\, dy= -\int \delta(y-x)\, \partial f(y)\, dy =-\partial f(x)$$ Pero esta es exactamente la definición de cómo se supone que la derivada del delta de Dirac actúa sobre una función de prueba arbitraria. De manera informal, puede simplemente integrar por partes para obtener $$-\int \delta(y-x)\, \partial f(y)\, dy = \int \partial\delta(y-x)\, f(y)\, dy .$$ Sacando este resultado de su agradable y seguro hogar integral, podemos escribir la definición $$\frac{\delta}{\delta\phi(x)}\partial\phi(y) = \delta'(y-x).$$

La aplicación de esta definición a su problema da el resultado deseado. En resumen, podemos decir que la derivada funcional simplemente "pasa" la derivada del espacio-tiempo en el campo ($\delta\partial\phi=\partial\delta\phi$), por lo que actúa "como cabría esperar" en los dos factores de$\partial\phi$y te da el factor de 2 que necesitas.

La forma más segura de calcular la derivada funcional es usar la siguiente receta:

$$\begin{equation} S[\phi + \delta \phi] = S[\phi] + \int {\rm d}^4 x \frac{\delta S}{\delta \phi}\delta \phi + O(\delta \phi^2) \end{equation}$$

En otras palabras, agregue una pequeña perturbación al campo y manipule la acción para que tenga la forma de una integral multiplicada por la variación (ignorando los términos superiores al orden lineal en la variación). Entonces la parte del integrando que multiplica la variación es la derivada funcional.

A continuación se explica cómo aplicar esto en su ejemplo.

Comenzamos con la acción (voy a absorber el término de masa en el potencial ya que realmente no hace ninguna diferencia para este cálculo)

$$\begin{equation} S[\phi] = \int {\rm d}^4 x \left(\frac{1}{2}(\partial \phi)^2 + V(\phi) + \phi J \right) \end{equation}$$

Luego agregamos una perturbación al campo y solo mantenemos los términos de primer orden

$$\begin{equation} S[\phi+\delta \phi] = S[\phi] + \int {\rm d}^4 x \left(\partial_\mu \phi \partial^\mu \delta \phi + \frac{\partial V}{\partial \phi}\delta \phi + \delta \phi J \right) + O(\delta \phi^2) \end{equation}$$

Luego hacemos una integración por partes sobre el término cinético para que le quitemos la derivada a la variación. Esto lleva a

$$\begin{equation} S[\phi+\delta \phi] = S[\phi] + \int {\rm d}^4 x \left[\left(-\square \phi + \frac{\partial V}{\partial \phi}+ J \right) \delta \phi \right] + O(\delta \phi^2) \end{equation}$$

Comparando con la definición anterior, vemos que

$$\begin{equation} \frac{\delta S}{\delta \phi} = -\square \phi + \frac{\partial V}{\partial \phi} + J \end{equation}$$