Cualquier solución analítica exacta para órbitas no Keplerianas; aquellos alrededor de distribuciones de masa no simétricas radialmente (por ejemplo, J₂≠0)?

Las órbitas keplerianas, aquellas alrededor de distribuciones de masa esféricamente simétricas ( el teorema de Shell de Newton las colapsa en un punto ) tienen soluciones analíticas en las que puede escribir t ( θ ) como una ecuación simple. por supuesto al revés θ ( t ) no se puede escribir y todavía tiene que ser resuelto numéricamente.

Pero mi conjetura es que para cualquier otra cosa que no sean las órbitas keplerianas propiamente dichas, no existe una ecuación simple para la órbita. Hay muchas ecuaciones por ahí, el resultado de varios cálculos de perturbaciones u otras aproximaciones.

Por ejemplo, ver

Estos se refieren a la parametrización orbital similar a Kelperian de órbitas alrededor de un esferoide achatado / alargado caracterizado por j 2 . Por ejemplo, la ecuación para el período nodal que incluye los efectos de la excentricidad y j 2 fue escrito en la respuesta de @Chris :

T = T 0 [ 1 − 3 j 2 ( 4 − 5 pecado 2 ⁡ i ) 4 ( a R ) 2 1 − mi 2 ( 1 + mi porque ⁡ ω ) 2 − 3 j 2 ( 1 − mi porque ⁡ ω ) 3 2 ( a R ) 2 ( 1 − mi 2 ) 3 ]

Aquí, según la respuesta, ω es el argumento del perigeo, y mi y i son la excentricidad y la inclinación.

Podemos sospechar que esto podría ser una aproximación porque una órbita real alrededor de un cuerpo con distinto de cero j 2 no tendrán elementos keplerianos fácilmente reconocibles (¡la órbita ni siquiera será plana!), tendrían que ser redefinidos. Pero tal vez en el contexto de esta ecuación, la órbita no elíptica aún puede tener una excentricidad bien definida de alguna manera.

Pregunta: Cuando todo esté dicho y hecho, cualquier solución analítica exacta para órbitas no keplerianas; aquellos alrededor de distribuciones de masa no simétricas radialmente (por ejemplo, J₂≠0)? o una vez j 2 se desvía de cero o la masa central se desvía de alguna manera de la simetría esférica, ¿las ecuaciones de movimiento siempre se convierten en aproximaciones?

A los efectos de esta pregunta, las "soluciones analíticas exactas" podrían incluir series infinitas, siempre que puedan ser y hayan sido escritas como tales.

nota: Esta es una pregunta complicada de escribir; Estoy abierto a comentarios que recomienden ajustes a la redacción o al alcance.

Muy buena pregunta, he estado pensando en esto también. Pero "orbita alrededor de un esferoide achatado/alargado caracterizado por j 2 " parece contener una interpretación errónea: en mi opinión, el j norte sólo puede modelar la oblatividad. Por cierto, como primer paso, limitaría el alcance al potencial de gravedad que involucra solo un j 2 > 0 (no creo que pueda ser negativo).
@NgPh no existe tal restricción de signos matemáticos . j 2 y j 22 son simplemente los dos términos de orden más bajo en una expansión multipolar infinita de un modelo geopotencial . Es cierto que para un planeta grande pero que gira lentamente en equilibrio hidrostático será achatado, la cosa se complica y puede volverse triaxial si gira más rápido. Por otro lado, un pequeño cuerpo rocoso no tiene que estar en equilibrio hidrostático y puede tener cualquier j 2 quiere, positivo o negativo.
@NgPh Si un asteroide gira alrededor de su eje largo, es probable que tenga un efecto negativo j 2 , mientras que si el mismo asteroide gira alrededor de su eje corto (eje de mayor momento de inercia), su j 2 ahora (probablemente) será positivo. Simplemente depende de la dirección que decidas llamar al objeto. z -axis, y tradicionalmente ese es el eje de rotación actual del objeto.
¿Puedes señalarme la definición de j 22 en el modelo de geopotencial de Wikipedia?
@NgPh parece que no llegan tan lejos, pero j 22 sería el coeficiente armónico zonal para el PAG 2 2 término ( j 2 está asociado con PAG 2 0 ) en el material entre las ecuaciones 9 y 10. Esta respuesta se relaciona con el campo de gravedad de la longitud de la Tierra según lo detectado por la deriva de tres satélites sincrónicos
Por lo que he leído, el término "zonal" parece estar reservado para el caso m = 0, es decir, no hay variación longitudinal (ángulo Phi en notación Wiki). Además, no puedo entender tus explicaciones negativas. j 2 con momentos de inercia. Yo pensaría que los armónicos esféricos están relacionados solo con la forma geométrica (distribución homogénea de masa dentro de esta forma).
@NgPh en lugar de tratar de tener una discusión de subprocesos múltiples en los comentarios, haga una nueva pregunta, tal vez "¿Puede j 2 ¿Tienes ambos signos?"
¿Esta pregunta incluye soluciones no físicas? Es decir, formas que son imposibles o muy poco probables de ocurrir en la naturaleza. Creo que puedo encontrar algunos ejemplos que se originen en campos eléctricos, el primo de la gravedad. Pero no encontrarás ningún asteroide con una forma lo suficientemente divertida.
@SE-stopfiringthegoodguys Estoy desgarrado, porque no, excepto que probablemente se te ocurrirá algo realmente interesante, así que sí... :-) Está esto: ¿ Podrías orbitar establemente alrededor de un cuerpo cuadrado (cúbico)? ¿Se desestabilizaría la órbita automáticamente si no se corrige con la entrada? Por ejemplo
Debería poder usar la mecánica lagrangiana/hamiltoniana para cualquier campo gravitacional en su mayor parte cuerdo y generar ecuaciones de movimiento, que serán ecuaciones diferenciales, generalmente de segundo grado. Ahora bien, si estas ecuaciones tienen soluciones analíticas, eso es un asunto diferente; ciertamente algunos lo harán, pero es posible que necesite diseños particulares y específicos de las masas.
El movimiento de un satélite bajo la j 2 la perturbación es descrita por un sistema dinámico que no es integrable, lo que implica que no existen soluciones analíticas exactas de forma cerrada. Fuente: 1, pág. 5 , que cita las pruebas 2 , 3 . Todavía podría escribir la solución como una serie infinita de Taylor sobre las condiciones iniciales, pero no estoy seguro de si podría haber algunos problemas de convergencia.
@LeWavite es tan informativo y restrictivo que realmente lo agradecería como una respuesta parcial, ¡no dude en hacerlo!
@LeWavite respondió a la pregunta de integrabilidad . Usaste los términos analítico exacto . Si bien parece obvio que una ODE "integrable" da como resultado una solución "analítica exacta", ¿es cierto lo contrario? ¿Cree que no es necesariamente cierto, que los dos términos ("integrable" y "que tiene una solución analítica exacta" no son sinónimos)?

Respuestas (2)

El movimiento de un satélite bajo la perturbación 𝐽2 se describe mediante un sistema dinámico que no es integrable, lo que significa que no existen soluciones analíticas exactas de forma cerrada. Fuente: [1, pág. 5] , que cita las pruebas [ 2 ], [ 3 ].

Todavía podría escribir la solución como una serie infinita de Taylor sobre las condiciones iniciales, pero no estoy seguro de si podría haber algunos problemas de convergencia.

¡Esto es genial! Si bien aún no es una respuesta completa, ofrece información útil y limitaciones. Parece que si hay alguna solución, es probable que sean curiosidades; casos especiales.
Estoy de acuerdo. En cualquier caso, incluso si uno pudiera escribir una solución analítica no en forma cerrada (como una serie infinita de Taylor), el esfuerzo computacional para tal solución probablemente sería mayor que el de una solución numérica de alta precisión...
@LeWavite, sin embargo, una solución basada en la integración de "fuerza bruta" no proporcionará la información que puede brindar una serie infinita, como truncar la serie y analizar la aproximación de forma cerrada.

Esto es para abordar la nota de OP:

Esta es una pregunta complicada de escribir; Estoy abierto a comentarios que recomienden ajustes a la redacción o al alcance.

Cuando se perturba el campo de fuerza potencial de un sistema de 2 cuerpos, el movimiento newtoniano del cuerpo no central ya no es una elipse alrededor del cuerpo central. Sin embargo, la trayectoria del movimiento, limitada en el tiempo, puede verse como una elipse distorsionada cuya deformación varía con el tiempo. La posición y la velocidad del satélite en un instante dado, también llamados vectores de estado, se pueden usar para definir de manera única una elipse, en el sentido kepleriano, que sería la trayectoria del satélite si se eliminaran todas las perturbaciones. Esta órbita elíptica definida de forma única tiene elementos orbitales keplerianos correspondientes: a, e, I, Ω, ω y τ (semieje mayor, excentricidad, inclinación, RAAN, argumento de perigeo, anomalía verdadera). Por lo general, se designa como la órbita osculadora (kepleriana), en el instante particular.

En un movimiento perturbado, en la mayoría de los casos prácticos (p. ej., cuando las fuerzas perturbadoras son pequeñas), los elementos osculadores a(t), e(t), I(t), Ω(t), ω(t) y τ( t) se puede suponer que varía lentamente (en comparación con el "período" de cualquier elemento orbital osculador).

Me desviaré en este punto y abordaré una pregunta implícita en la Pregunta del OP: ¿Cómo podemos definir qué es una "solución analítica exacta"?

Supongamos que estamos en el centro de un círculo y observamos un automóvil en movimiento cuya trayectoria sigue el círculo. Supongamos que muy lejos tenemos un árbol que podemos usar como punto de referencia.

  • La pregunta para nosotros es: ¿cuándo tendremos una "solución analítica exacta" para la posición del automóvil?

Podemos resolver el "cabo suelto" de la definición de "analítica exacta" reformulando: sabiendo que el automóvil está frente al árbol en el tiempo T0, ¿puede dar la posición del automóvil en cualquier momento T, entonces que la precisión de su predicción es independiente de qué tan lejos está T de T0 y sin conocimiento de las posiciones en tiempos intermedios?

Obviamente, si la velocidad angular del automóvil es constante y conocida, podemos cerrar los ojos y decir "dame cualquier T, puedo predecir la posición exactamente ". Es decir, la precisión de nuestra predicción depende solo de la precisión de nuestro conocimiento de la velocidad angular (y la precisión de nuestra función de cronometraje, por supuesto).

Ahora bien, esto es igualmente cierto incluso cuando el automóvil no se mueve a una velocidad angular constante. Por ejemplo, puede moverse a una velocidad constante durante la mitad del círculo, luego al doble de esa velocidad durante la segunda mitad, etc... Siempre que sepamos cómo cambia la velocidad angular con el tiempo, analíticamente, podemos predecir la posición sin calcular las posiciones intermedias. Y esta sería nuestra definición de "solución analítica exacta".

¿Significaría eso que, matemáticamente hablando, el movimiento de nuestro automóvil es una solución integrable de la ecuación del movimiento? Esto está mucho más allá de mi capacidad de razonamiento matemático. Y además, diría que puede no ser de mucho interés en aplicaciones prácticas saber la respuesta a esa pregunta teórica.

Cualquier solución analítica exacta para órbitas no Keplerianas; aquellos alrededor de distribuciones de masa no simétricas radialmente (por ejemplo, J₂≠0)?
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