¿Por qué el ángulo de curvatura de una trayectoria hiperbólica da resultados diferentes?

Question

¿Por qué el ángulo de curvatura de una trayectoria hiperbólica da resultados diferentes?

Hombre estrella

El ángulo de curvatura ( $\delta$ ) es el ángulo reflejo entre las dos asíntotas de una trayectoria hiperbólica.

De esta respuesta de Stack Exchange , la fórmula para calcular el ángulo de curvatura es:

d = 2 {pecado}^{- 1} (\frac{1}{mi})

$\delta = 2 \sin^{-1}\bigg( \frac{1}{e} \bigg)$

Dónde $e$ es la excentricidad y se calcula mediante:

mi = \frac{r v_{\infty}^{2}}{m} + 1

$e = \frac{rv_\infty^2}{\mu}+1$

Dónde $r$ es la distancia de la nave espacial al cuerpo durante el acercamiento más cercano (periapsis), y $v_\infty$ es la velocidad como si el cuerpo gravitatorio no estuviera allí.

Puse un valor arbitrario para $v_\infty$ que es 21 000 m/s, y una altitud arbitraria de la órbita que está a 60 000 km del centro del planeta (que tiene un radio de 6 371 km) para dar el valor total de $r = 6.6371 \times 10^7$ metros El GM del planeta también se compone, así que $\mu = 1.47 \times 10^{14}$ . esto me da $e = 200.113$ . Y cuando sustituyo $e$ en la ecuación 1, obtengo $\delta = 0.573$ .

Tracé esta trayectoria hiperbólica en Desmos y aquí está el gráfico como referencia (las líneas punteadas son las asíntotas).

Note, a = 500 y b = 100,055.25 porque esto produce una excentricidad de 200.113, usando la ecuación para la excentricidad de una hipérbola $e = \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}$ . Lo que básicamente hice fue elegir un arbitrario $a$ valor y resuelto para $b$ para obtener una excentricidad de 200.113.

Pregunta: La imagen de arriba muestra que esta trayectoria hiperbólica claramente tiene un ángulo de curvatura muy grande, alrededor de $180^o$ (menos en realidad, pero a simple vista parece 180 grados). Pero la fórmula 1 dio un resultado de $\delta = 0.573$ . Esto no puede ser grados. Pero tampoco son radianes porque $0.573 rad = 32^o$ . No pueden ser minutos de arco o segundos de arco. Entonces pensé que debían ser revoluciones. Pero una revolución superior a 0,5 produce un valor en grados superior a 180 grados, que es menor que el ángulo de curvatura. ¿Que está pasando aqui? ¿Estoy malinterpretando algo?

notovni

Sí, algo anda muy mal. con tu imagen La excentricidad parece estar bien. Moviéndose a casi el doble de la velocidad de escape de la superficie de la Tierra para su

v_{\infty}

$v_\infty$ con un periápside de casi 10 radios terrestres, y una masa central miles de millones de veces más pequeña que la Tierra, debería producir una trayectoria que es casi una línea recta, por lo que una excentricidad de más de 200 probablemente sea razonable.

notovni

(Ah, confundió el parámetro gravitatorio con la masa planetaria y dejó que la ventana de edición caducara. Aún así, la excentricidad parece estar bien).

Mármol Orgánico

No he analizado los números, pero usted dice que "r es la distancia de la nave espacial al cuerpo" y la referencia dice que r es el radio de aproximación más cercano, lo que parece que puede ser una desconexión. Si su parcela está etiquetada correctamente, r debería ser 4500 no 6.6x10 ^ 8

Hombre estrella

He cometido un error al calcular el valor b. NO es 4.444, sino 100.055. También corregí la fórmula.

e = \frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}

$e = \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}$

Hombre estrella

@OrganicMarble Al exponente 7. No 8. Lo siento. Pero si.

6.6 \times 10^{7}

$6.6 \times 10^7$ es el acercamiento más cercano. (A unos 60.000 km de la superficie del planeta). El propósito del diagrama desmos es mostrar que el ángulo de curvatura de las asíntotas no es igual al valor de 0.537. cual es mi pregunta Siempre que la excentricidad sea de 200,1, el ángulo seguirá siendo el mismo. Entonces si es

6.6 \times 10^{7}

$6.6 \times 10^7$ o 4500 es irrelevante siempre que la excentricidad sea 200,1.

Respuestas (2)

¿Por qué el ángulo de curvatura de una trayectoria hiperbólica da resultados diferentes?

Sí, algo anda muy mal. con tu imagen La excentricidad parece estar bien. Moviéndose a casi el doble de la velocidad de escape de la superficie de la Tierra para su $v_\infty$ con un periápside de casi 10 radios terrestres, y una masa central miles de millones de veces más pequeña que la Tierra, debería producir una trayectoria que es casi una línea recta, por lo que una excentricidad de más de 200 probablemente sea razonable.
(Ah, confundió el parámetro gravitatorio con la masa planetaria y dejó que la ventana de edición caducara. Aún así, la excentricidad parece estar bien).
No he analizado los números, pero usted dice que "r es la distancia de la nave espacial al cuerpo" y la referencia dice que r es el radio de aproximación más cercano, lo que parece que puede ser una desconexión. Si su parcela está etiquetada correctamente, r debería ser 4500 no 6.6x10 ^ 8
He cometido un error al calcular el valor b. NO es 4.444, sino 100.055. También corregí la fórmula. $e = \frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}$
@OrganicMarble Al exponente 7. No 8. Lo siento. Pero si. $6.6 \times 10^7$ es el acercamiento más cercano. (A unos 60.000 km de la superficie del planeta). El propósito del diagrama desmos es mostrar que el ángulo de curvatura de las asíntotas no es igual al valor de 0.537. cual es mi pregunta Siempre que la excentricidad sea de 200,1, el ángulo seguirá siendo el mismo. Entonces si es $6.6 \times 10^7$ o 4500 es irrelevante siempre que la excentricidad sea 200,1.

notovni · Answer 1

Hay dos problemas principales que puedo ver.

Lo que sea que estés usando para calcular el $\arcsin$ de hecho le está dando un valor en grados.

Los parámetros que ha proporcionado son básicamente los de un satélite que pasa a toda velocidad por un objeto a una distancia moderada, moviéndose muy por encima de la velocidad de escape a lo largo de su trayectoria. Ni se acerca lo suficiente ni se queda el tiempo suficiente para obtener una curva de trayectoria significativa, así que sí, el ángulo de deflexión es de aproximadamente 0,57 °.

Además, sus valores elegidos para producir una excentricidad de 200 están fuera de lugar. $\frac{\sqrt{500^2 + 4444^2}}{500} = 8.944$

Para ampliar aún más, generalmente uso las secciones cónicas polares para las órbitas; son más fáciles de manejar cuando se trabaja con las ecuaciones de Kepler.

Tienes la distancia del periapsis y la excentricidad: (editar: inicialmente tenía el periapsis 10 veces más grande)

r_{pag} = 6.67 \times 10^{7} metro

$r_p = 6.67 \times 10^7m$

mi = 200

$e = 200$

A partir de ahí, puedes calcular el semieje mayor. $a$ como :

a = \frac{r_{pag}}{1 - mi} = - 3.34 \times 10^{5} metro

$a = \frac{r_p}{1-e} = -3.34 \times 10^5 m$

Y la ecuación polar de la hipérbola resultante es:

r = \frac{a (1 - {mi}^{2})}{1 + mi porque θ} = \frac{r_{pag} (1 + mi)}{1 + mi porque θ}

$r = \frac{a(1-e^2)}{1 + e\cos \theta}= \frac{r_p(1+e)}{1 + e\cos \theta}$

Y tu sobrevuelo del mundo que has elegido se ve así:

Gráfico de GeoGebra - Sobrevuelo hiperbólico

El círculo morado en el origen es el cuerpo central del sobrevuelo. He dibujado ambos lóbulos de la hipérbola aquí, el verde es la trayectoria de sobrevuelo real, y la línea punteada roja es el otro lóbulo sin trayectoria.

Un solo lóbulo de una hipérbola de excentricidad 200 es difícil de distinguir a simple vista de una línea recta.

@novotny en la fórmula de excentricidad, el denominador no está elevado al cuadrado, a menos que coloque la fracción completa debajo de la raíz cuadrada.
@OscarLanzi Ah. Estaba tomando la fórmula de la publicación original y no verifiqué dos veces. Disculpas
@notovny Lo siento. Fijé el valor de 4.444. En realidad es 100.055. Esto da una excentricidad de 200.113. Y arreglé la fórmula. El denominador no está al cuadrado.
Esta respuesta ha mejorado mucho, pero una pequeña solicitud de aclaración. Dibujaría los lóbulos en diferentes colores, quizás el "real" azul y el otro lóbulo gris claro, para hacerlos más fáciles de distinguir dada la forma de la hipérbola y hacer que la órbita real sea más fácil de ver. Gracias.

Óscar Lanzí · Answer 2

Repasemos esto una cosa a la vez.

En primer lugar, su valor para $\delta$ está claramente en grados. Con una excentricidad de $200$ , El recíproco $1/e$ es tan pequeño que es casi igual a su propio seno inverso, en radianes. $\delta$ es básicamente $2/200$ radianes $=0.573°$ .
A continuación, date cuenta de que, geométricamente, la excentricidad de una hipérbola es igual a la distancia del centro al foco dividida por la distancia del centro al vértice. Con su forma para la hipérbola, teniendo vértices en el $y$ eje, la distancia anterior es $\sqrt{a^2+b^2}$ y la última distancia es $b$ (no $a$ ).
Para la alta excentricidad que representas, debes tener $a$ más grande que $b$ , no al revés, y además la relación entre ellos tiene que ser mucho mayor que la $4444/500$ se supone aquí. Cuando la excentricidad de la hipérbola descrita anteriormente es mayor que $10$ , el $b^2$ El término bajo el radical es muy pequeño, por lo que la excentricidad es solo un poco diferente de solo $a/b$ . Para una excentricidad de $200$ , entonces, básicamente necesitas $a$ ser $200$ veces $b$ , no la $8.888$ proporción dada aquí.

Ingrese los números de acuerdo con lo anterior y su curva hiperbólica debe ajustarse a las fórmulas.

Ups. No sé cómo obtuve 4.444. He editado la pregunta. El nuevo valor de b es 100.055, lo que da una excentricidad de 200,1. (También corregí la fórmula).
Por favor, mire de nuevo mi segundo punto. No estoy de acuerdo con $\sqrt{a^2+b^2}/a$ cuando dibujas la hipérbola con vértices en $(0,\pm b)$ Opuesto a $(\pm a, 0)$ .

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