¿Qué significa la frase "punto de vista topológico" cuando se aplica a las órbitas de dos cuerpos en este contexto?

Una pregunta reciente incluye el pasaje:

Desde un punto de vista topológico, parece probable que cualquier cuerpo rígido tenga que admitir al menos una órbita baja estable, independientemente de las concentraciones de masa. Sin embargo, no he repasado las matemáticas. ¿Ya se ha hecho?

¿Qué significa la frase "punto de vista topológico" cuando se aplica a las órbitas de dos cuerpos en este contexto, lunar o de otro tipo?

Sé que los conceptos topológicos como la bifurcación son importantes en tres o más órbitas corporales (por ejemplo, esto o la imagen de abajo de aquí ), pero en este contexto es solo un (presumiblemente) cuerpo sin masa en órbita alrededor de otro cuerpo rígido.

CR3BP y bifucación

Creo que la idea es considerar el espacio de las órbitas posibles y mostrar que debido a que hay órbitas que están perturbadas (por los componentes no esféricos de la gravedad de la masa central) en un sentido y otras órbitas giradas en el otro sentido, entonces en algún lugar de entre ellos debe haber uno que no esté perturbado. Dado que hay varias posibles formas independientes de perturbación, esto bien podría no ser cierto, pero la topología del espacio de todas las órbitas posibles te lo dirá.
@SteveLinton ¿Puede dar un ejemplo de lo que podría ser un ejemplo simple de un "espacio de órbitas posibles"? Para una fuerza central simple, supongo que podría tener cinco dimensiones ignorando el tiempo. Pero para un campo de gravedad más complicado, ¿sería finito el número de dimensiones en este "espacio"? ¿O es el espacio en realidad siempre solo un vector de estado de seis dimensiones en t = 0 (punto de partida)?

Respuestas (1)

Comience considerando una gran masa, esférica de radio r o punto, en el origen. Tenga en cuenta que en el perihelio o afelio el movimiento relativo de un objeto en órbita es tangente al centro de masa.

Cualquier órbita con distancia A > r desde el origen hasta el afelio y la distancia PAG al perihelio se caracteriza enteramente por un punto en la esfera unitaria (correspondiente, digamos, al punto del perihelio) junto con un punto en el círculo unitario (que da la dirección del movimiento tangente en el perihelio).

Por lo tanto, podemos pensar en el conjunto de A , PAG órbitas en términos de campos vectoriales unitarios en la unidad 2-esfera. Más generalmente, el conjunto de órbitas con energía mi y distancia del perihelio PAG tendrá la misma propiedad.

Para una masa central esférica, los dos son completamente equivalentes. Si la masa central no es esférica, todavía hay una superficie de igual energía S mi de perihelio. S mi ya no será esférico pero (¿normalmente?) será topológicamente igual a 2 esferas.

Si S mi es topológicamente esférico, entonces campos vectoriales en S mi están sujetos a un análisis topológico simple, incluido el famoso "teorema del erizo" que establece que no hay campos vectoriales continuos que no desaparezcan en S mi .

Editar:

Ya no creo que sea razonable pensar en términos de perihelio y afelio, ya que eso supone una órbita en primer lugar. Todavía podemos pensar en términos de tangentes en alguna superficie equipotencial, pero debemos tener en cuenta el rango completo de energías cinéticas (velocidades). Por lo tanto, estamos caracterizando un conjunto de geodésicas por un punto en la esfera más un vector tangente, en lugar de solo un punto en el círculo unitario.

Sería útil ampliar un poco más sobre esto. ¿Cómo se relaciona esto con la estabilidad bajo perturbaciones?
Gracias por su respuesta, le daré una lectura completa en unas horas.
@Steve Linton Esta es una perspectiva topológica diferente a la estabilidad bajo perturbaciones, en la que estoy insinuando que podría haber algún truco simple del teorema del erizo. Si hedgehog no funciona, entonces las perturbaciones parecen la vía más prometedora.
Está bien, bueno, han pasado más de unas pocas horas ahora, pero ya casi llego. Echaré un vistazo cuando esté más tranquilo esta noche. El "teorema de la bola peluda" es la respuesta a mi pregunta . ¿Hay necesariamente siempre al menos dos puntos donde el campo magnético de la Tierra es vertical? y supongo que eso es simplemente un erizo esférico?
¿Qué significa la frase "punto de vista topológico" cuando se aplica a las órbitas de dos cuerpos en este contexto?
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