¿Siguen existiendo los puntos de Lagrange si hay una presión de radiación significativa en el tercer cuerpo desde el primero?

1) y 2) son fáciles de mostrar, el bono es muy difícil y no lo intentaré.

A$L$El punto de liberación puede verse como un equilibrio entre tres aceleraciones en un marco de referencia giratorio.

1. gravedad de$M_1$
2. gravedad de$M_2$
3. Aceleración centrífuga.

Para$L_2$, los dos primeros son$-\frac{(1 - \delta)M_1}{(R + r_2)^2}$y$-\frac{M_2}{r_"^2}$respectivamente. Su$\delta$incluido.

La tercera aceleración sería$\omega^2r_{centre}$, dónde$\omega^2 = \frac{\mu}{R^3}$y$r_{centre} = \frac{RM_1}{\mu} + r_2$

Entonces tenemos:

$$-\frac{M_2}{r_2^2} - \frac{(1 - \delta)M_1}{(R + r_2)^2} + \frac{M_1 + M_2}{R^3} \left(r_2 + \frac{RM_1}{M_1 + M_2}\right) = 0$$

Lo que se simplifica a:

$$\frac{M_1}{R^2} + \frac{r_2(M_1 + M_2)}{R^3} - \frac{(1 - \delta)M_1}{(R + r_2)^2} -\frac{M_2}{r_2^2}= 0$$

Que inequívocamente se parece a su segunda fórmula.

En aras de la exhaustividad, aquí están$L_1$:

$$\frac{M_1}{R^2} + \frac{r_1(M_1 + M_2)}{R^3} - \frac{(1 - \delta)M_1}{(R + r_1)^2} +\frac{M_2}{r_1^2}= 0$$

Y$L_3$:

$$-\frac{M_1}{R^2} - \frac{r_3(M_1 + M_2)}{R^3} + \frac{(1 - \delta)M_1}{(R + r_3)^2} +\frac{M_2}{r_3^2}= 0$$

Esta derivación debe responder 2). ¿Pero existe?

Se puede usar un argumento considerablemente más simple para eso.

Di que nos mudamos$L_2$hacia adentro hacia el segundo cuerpo:

1. la gravedad de$M_1$crece, pero sólo hacia el valor fijado a la distancia del segundo cuerpo.
2. la gravedad de$M_2$crece, y rápidamente tiende hacia el infinito a medida que el$L_2$se acerca a la masa puntual
3. La aceleración centrífuga disminuye.

De ello se deduce que cualquier aumento en la aceleración de$M_1$puede contrarrestarse con el valor alto arbitrario de la combinación de las otras dos aceleraciones.

Se puede hacer el mismo argumento para alejarse del segundo cuerpo. La aceleración centrífuga crece linealmente de forma arbitraria, mientras que la gravedad contraria se reduce con el cuadrado de la distancia hasta que la ecuación alcanza el equilibrio.

$L_2$siempre existe

Sin embargo, no ocurre lo mismo con$L_1$. Mientras que un aumento en la aceleración de$M_1$se puede contrarrestar moviendo$L_1$cerrar arbitrariamente el segundo cuerpo, una disminución en la aceleración más allá$1 - \delta = 0$dará como resultado que toda la aceleración sea en la misma dirección. De hecho, uno tendría que estar en el lado opuesto del cuerpo central, en cuyo caso$L_2 \equiv L_3$