¿Qué tipo de triángulo está formado por tres masas desiguales en una órbita circular restringida de tres cuerpos?

Question

¿Qué tipo de triángulo está formado por tres masas desiguales en una órbita circular restringida de tres cuerpos?

Espacio
Matemáticas
mecánica-orbital
n-cuerpo-simulaciones

UH oh

Esta respuesta a ¿Son las órbitas de todos los sistemas estelares triples al menos técnicamente inestables? menciona:

Existen soluciones conocidas para el problema gravitatorio de los tres cuerpos que se puede demostrar que son estables. Lagrange encontró una solución de tres cuerpos para masas generales donde los tres orbitan el centro de masa común en una formación triangular equilátera. Gascheau demostró en 1843 que esta solución es estable si las masas de los componentes satisfacen

$\frac{{metro}_{1} {metro}_{2} + {metro}_{1} {metro}_{3} + {metro}_{2} {metro}_{3}}{({metro}_{1} + {metro}_{2} + {metro}_{3})^{2}} < 1 / 27$ $\frac{m_1 m_2+ m_1 m_3 + m_2 m_3}{(m_1+m_2+m_3)^2} < 1/27$

Cuando la masa más pequeña tiende a cero, las tres masas están en los vértices de un triángulo equilátero. En un sistema solar realista , esto significa que los asteroides troyanos generalmente se encuentran en órbitas de planetas masivos como Júpiter, unos 60 grados por delante y por detrás.

Pero si la masa más pequeña es grande pero la desigualdad anterior aún se cumple, ¿qué podemos decir sobre el triángulo formado por los tres cuerpos en una órbita circular restringida de tres cuerpos ?

¿Todavía se sabe que es un triángulo equilátero, pero giran alrededor de un punto que no es el centro del triángulo, pero está inclinado hacia el objeto más pesado ?

Si es así, ¿se puede mostrar esto citando una referencia basada en matemáticas o se puede mostrar aquí matemáticamente o computacionalmente?
Si no, ¿existe una expresión para dos ángulos del triángulo en función de las proporciones de masa?

Fuente clic para tamaño completo

Respuestas (1)

¿Qué tipo de triángulo está formado por tres masas desiguales en una órbita circular restringida de tres cuerpos?

TimRias · Answer 1

Estas preguntas son respondidas por las mismas referencias enumeradas en mi respuesta anterior .

En el límite newtoniano, existe una solución de 3 cuerpos equiláteros para cualquier combinación de masas. (Sin embargo, es estable solo si se satisface la desigualdad de la respuesta anterior). Esta configuración equilátera orbita el centro de masa, que generalmente no está en el centro del triángulo equilátero. Cada uno de los cuerpos sigue una órbita circular con radio (ver por ejemplo 1212.0754

r_{1} = a \sqrt{v_{2}^{2} + v_{2} v_{3} + v_{3}^{2}}

$r_1 = a\sqrt{\nu_2^2+\nu_2\nu_3+\nu_3^2}$

r_{2} = a \sqrt{v_{1}^{2} + v_{1} v_{3} + v_{3}^{2}}

$r_2 = a\sqrt{\nu_1^2+\nu_1\nu_3+\nu_3^2}$

r_{3} = a \sqrt{v_{1}^{2} + v_{1} v_{2} + v_{2}^{2}}

$r_3 = a\sqrt{\nu_1^2+\nu_1\nu_2+\nu_2^2}$

y frecuencia

ω = \sqrt{METRO / a^{3}},

$\omega = \sqrt{M/a^3},$

dónde $a$ es la longitud de los lados del triángulo equilátero, $M$ la masa total y $\nu_i = m_i/M$ .

La situación cambia cuando se tienen en cuenta los efectos relativísticos. Cuando se tienen en cuenta las correcciones principales (post-newtonianas), entonces todavía existe una solución circular restringida de tres cuerpos para las masas generales (con una región de estabilidad más pequeña que en el caso newtoniano). Sin embargo, la configuración triangular ya no es circular (a menos que las tres masas sean iguales o dos masas sean 0). Manteniendo las distancias al centro de masa $r_i$ como en el caso newtoniano, los lados del triángulo ahora están dados por (nuevamente ver 1212.0754 )

r_{i j} = a (1 + \frac{METRO}{a} ϵ_{i j} + O (\frac{{METRO}^{2}}{a^{2}}))

$r_{ij} = a(1+\frac{M}{a}\epsilon_{ij}+ O(\tfrac{M^2}{a^2}) )$

con

ϵ_{12} = \frac{1}{24} [(v_{1} - v_{3}) (5 - 3 v_{2}) + (v_{2} - v_{3}) (5 - 3 v_{1})]

$\epsilon_{12} = \frac{1}{24}[(\nu_1-\nu_3)(5-3\nu_2)+(\nu_2-\nu_3)(5-3\nu_1)]$

ϵ_{23} = \frac{1}{24} [(v_{2} - v_{1}) (5 - 3 v_{3}) + (v_{3} - v_{1}) (5 - 3 v_{2})]

$\epsilon_{23} = \frac{1}{24}[(\nu_2-\nu_1)(5-3\nu_3)+(\nu_3-\nu_1)(5-3\nu_2)]$

ϵ_{31} = \frac{1}{24} [(v_{3} - v_{2}) (5 - 3 v_{1}) + (v_{1} - v_{2}) (5 - 3 v_{3})] .

$\epsilon_{31} = \frac{1}{24}[(\nu_3-\nu_2)(5-3\nu_1)+(\nu_1-\nu_2)(5-3\nu_3)].$

Los ángulos del triángulo se pueden calcular a partir de estas longitudes si uno está inclinado.

"En el límite de Newton, existe una solución de 3 cuerpos equiláteros para cualquier combinación de masas". ¡Esto es increíble, gracias!
Acabo de preguntar ¿ Dónde puedo encontrar la solución triangular equilátera de Lagrange para masas arbitrarias? en HSM SE.

¿Qué tipo de triángulo está formado por tres masas desiguales en una órbita circular restringida de tres cuerpos?

UH oh

Respuestas (1)

TimRias

UH oh

UH oh

¿Qué significa exactamente la variable universal x y z?

¿Siguen existiendo los puntos de Lagrange si hay una presión de radiación significativa en el tercer cuerpo desde el primero?

¿Por qué el ángulo de curvatura de una trayectoria hiperbólica da resultados diferentes?

¿Cuál es la excentricidad de una órbita (trayectoria) que cae directamente hacia el centro?

¿Cómo trazar una trayectoria de Clohessy Wiltshire en MATLAB?

Uso de los sistemas de coordenadas en la propagación en órbita

¿Cuál es la estrategia óptima de cambio de inclinación?

¿Qué significa la frase "punto de vista topológico" cuando se aplica a las órbitas de dos cuerpos en este contexto?

¿Cuál es la fórmula para los polinomios de Legendre de EGM96 calculada en el programa F447.f?

¿La tasa de precesión absidal tiene alguna dependencia con el argumento del periapsis? ¿Quizás un orden superior?