¿Cuál es la fórmula para los polinomios de Legendre de EGM96 calculada en el programa F447.f?

Esta no es una recurrencia para un polinomio de Legendre.$P_{n}(\mu)$sino una Función de Legendre Asociada (ALF). Este 1 establece mucho más de lo que se necesita aquí.

Los ALF a menudo se denotan$P_{n,m}(\mu)$en geofísica. El grado$n$y el orden$m$son enteros no negativos$0, 1, 2, \dots$con$0 \le m \le n.$Argumento$\mu$es el seno de la latitud (medido al norte o al sur desde el ecuador), o de manera equivalente, el coseno de la colatitud (medido hacia el sur desde el polo norte).

Los ALF aparecen como factores en fórmulas armónicas esféricas sólidas. Tales fórmulas se utilizan para representar un campo gravitacional. Los armónicos esféricos se clasifican en zonales, sectoriales o teselares según sean$m=0$(zonal),$m=n$(sectorial), o$0 < m < n$(tesero). Aplicando esas convenciones a los ALF, los zonales son los mismos que los polinomios de Legendre:$P_{n,0}(\mu) = P_{n}(\mu).$Los sectoriales corresponden a$P_{n,n}(\mu),$mientras$P_{n,m}(\mu), \, 0 < m < n$corresponden a teseros.

Un ALF podría evaluar un valor numérico muy grande para grandes$n$o$m$. Los geofísicos a menudo introducen un factor de normalización que denoto$N_{n,m}$. su fórmula es

$$\begin{align*} N_{n,m} = \begin{cases} \sqrt {(2n+1) \dfrac {(n-m)!}{(n+m)!}}, & m = 0 \\ \sqrt {2 (2n+1) \dfrac {(n-m)!}{(n+m)!}}, & m > 0. \end{cases} \end{align*}$$ Un ALF "totalmente normalizado" usando$N_{n,m}$se indica mediante una barra encima de la$P$: $$\begin{align*} \overline{P}_{n,m}(\mu) = N_{n,m} \, P_{n,m}(\mu) \quad \Leftrightarrow \quad P_{n,m}(\mu) = \overline{P}_{n,m}(\mu) / N_{n,m} . \end{align*}$$

Una recurrencia sectorial usando colatitud$\theta$es

$$\begin{align*} P_{n,n}(\cos \theta) = (2n-1) \sin \theta \; P_{n-1,n-1}(\cos \theta) \end{align*}$$ empezando con$P_{0,0} = 1$por definición y$P_{1,1} = \sin \theta$por la recurrencia. (Tenga en cuenta que el argumento ALF es$\cos \theta$pero eso$\sin \theta$aparece como un factor en el RHS.) Esta recurrencia se puede expresar utilizando ALF completamente normalizados sustituyendo$P_{n,n}(\mu) = \overline{P}_{n,n}(\mu) / N_{n,n}$. Asumir$n > 1$: $$\begin{align*} \frac {\overline{P}_{n,n}(\cos \theta)} {N_{n,n}} & = (2n-1) \sin \theta \; \frac {\overline{P}_{n-1,n-1}(\cos \theta)} {N_{n-1,n-1}} \\ \frac {\overline{P}_{n,n}(\cos \theta)} {\sqrt{2 (2n+1) \dfrac {0!} {(2n)!}}} & = (2n-1) \sin \theta \; \frac {\overline{P}_{n-1,n-1}(\cos \theta)} {\sqrt{2 (2n-1) \dfrac {0!} {(2n-2)!}}} \\ \overline{P}_{n,n}(\cos \theta) & = \sqrt{\dfrac {2 (2n+1) } {(2n)(2n-1)(2n-2)!}} (2n-1) \sqrt {\frac {(2n-2)!} {2(2n-1)} } \sin \theta \; \overline{P}_{n-1,n-1}(\cos \theta) \\ & = \sqrt{ \dfrac {2n+1} {2n}} \sin \theta \; \overline{P}_{n-1,n-1}(\cos \theta) . \end{align*}$$ Esto corresponde al fragmento de código del OP, con la convención de que$\overline{P}_{n,n}$se almacena en RLNN(N+1).

(Esta respuesta continúa la anterior).

una mesa de$P_{n,m}(\mu)$los valores se pueden visualizar como una matriz cuadrada. Las filas hacia abajo de la página están indexadas por grado$n$, y columnas a la derecha por orden$m$.

Debido a las matemáticas subyacentes, lo único sensato$P_{n,m}(\mu)$valores ocurren para$0 \le m \le n$. El efecto es que la mesa es triangular inferior en lugar de cuadrada;$P_{n,m}(\mu)$no existen por encima de la$m=n$diagonal.

Valores a lo largo del$m=n$diagonal corresponden a los términos sectoriales descritos en la respuesta anterior. Una recurrencia simple proporciona el valor de$P_{n,n}(\mu)$del valor anterior$P_{n-1,n-1}(\mu)$.

Una recurrencia diferente proporciona valores en una columna. Esta recurrencia "vertical" utiliza los dos valores inmediatamente anteriores en la parte superior de la columna. Por ejemplo en la columna$m=3$, El valor de$P_{6,3}(\mu)$se puede calcular a partir de$P_{5,3}(\mu)$y$P_{4,3}(\mu)$.

La recurrencia vertical usando colatitud$\theta$es:

$$\begin{align*} (n-m) P_{n,m}(\cos\theta) = (2n-1) \cos\theta \; P_{n-1,m} (\sin\theta) - (n-m-1) P_{n-2,m}(\cos\theta) \end{align*}$$ Esta recurrencia utilizando no normalizados$P_{n,m}(\cos\theta)$se puede convertir a completamente normalizado$\overline{P}_{n,m}(\cos\theta)$de la misma manera que se usó anteriormente para convertir la recurrencia sectorial:$\overline{P}_{n,m}(\cos\theta) / N_{n,m}$es sustituido por$P_{n,m}(\cos\theta)$. $$\begin{align*} \overline{P}_{n,m}(\cos\theta) & = \frac {N_{n,m}} {n-m} \left[ \frac {2n-1} {N_{n-1,m}} \cos\theta \; \overline{P}_{n-1,m} (\cos\theta) - \frac {n+m-1} {N_{n-2,m}} \overline{P}_{n-2,m}(\cos\theta) \right] \\ & = \frac {\sqrt{(2-\delta_{0,m}) (2n+1) \frac{(n-m)!}{(n+m)!}}} {n-m} \left[ \begin{array}{l} \dfrac {2n-1} {\sqrt{(2-\delta_{0,m}) (2n-1) \frac{(n-m-1)!} {(n+m-1)!}}} \cos\theta \; \overline{P}_{n-1,m} (\cos\theta) \\ \quad - \dfrac {n+m-1} {\sqrt{(2-\delta_{0,m}) (2n-3) \frac{(n-m-2)!} {(n+m-2)!}}} \overline{P}_{n-2,m}(\cos\theta) \end{array} \right] \\ & = \frac {\sqrt{(2n+1) \frac{(n-m)(n-m-1)(n-m-2)!}{(n+m)(n+m-1)(n+m-2)!}}} {n-m} \left[ \begin{array}{l} \dfrac {2n-1} {\sqrt{(2n-1) \frac{(n-m-1)(n-m-2)!} {(n+m-1)(n+m-2)!}}} \cos\theta \; \overline{P}_{n-1,m} (\cos\theta) \\ \quad - \dfrac {n+m-1} {\sqrt{(2n-3) \frac{(n-m-2)!} {(n+m-2)!}}} \overline{P}_{n-2,m}(\cos\theta) \end{array} \right] \\ & = \frac {\sqrt{(2n+1) \frac{(n-m)(n-m-1)}{(n+m)(n+m-1)}}} {n-m} \left[ \begin{array}{l} \dfrac {2n-1} {\sqrt{(2n-1) \frac{(n-m-1)} {(n+m-1)}}} \cos\theta \; \overline{P}_{n-1,m} (\cos\theta) \\ \quad - \dfrac {n+m-1} {\sqrt{2n-3}} \overline{P}_{n-2,m}(\cos\theta) \end{array} \right] \\ & = \sqrt{\frac{2n+1} {(n-m)(n+m)}} \sqrt{\frac{n-m-1}{n+m-1}} \left[ \begin{array}{l} \sqrt{(2n-1) \frac{n+m-1} {n-m-1}} \cos\theta \; \overline{P}_{n-1,m} (\cos\theta) \\ \quad - \dfrac {n+m-1} {\sqrt{2n-3}} \overline{P}_{n-2,m}(\cos\theta) \end{array} \right] \\ & = \sqrt{\frac{2n+1} {(n-m)(n+m)}} \left[ \begin{array}{l} \sqrt{2n-1} \cos\theta \; \overline{P}_{n-1,m} (\cos\theta) \\ \quad - \sqrt{ \dfrac {(n-m-1)(n+m-1)} {2n-3} } \overline{P}_{n-2,m}(\cos\theta) \end{array} \right] . \end{align*}$$ Esta es la recurrencia vertical para completamente normalizado$\overline{P}_{n,m}(\cos\theta)$.

Una arruga es que al calcular el término subdiagonal$\overline{P}_{n+1,n}(\cos\theta)$, solo hay un término precedente (la diagonal$\overline{P}_{n,n}(\cos\theta)$). El segundo término anterior (encima de la diagonal) no existe. En este caso especial, solo se necesita el primer término entre paréntesis.

programa F447.f

La subrutina LEGFDN guarda valores de$\sqrt {i}$en matriz DRTS(i) y el recíproco$1 / \sqrt {i}$en SUCIEDAD(i). El código de la subrutina

      RLEG(N1) = DRTS(N2+1)*DIRT(N+M)*DIRT(N-M)*(DRTS(N2-1)*COTHET*  
     2 RLEG(N1-1)-DRTS(N+M-1)*DRTS(N-M-1)*DIRT(N2-3)*RLEG(N1-2))

cerca de la parte inferior de DO-loop 30 es equivalente a

      RLEG(N1) = SQRT(2*N+1)/SQRT(N+M)/SQRT(N-M)*
     1 ( SQRT(2*N-1)*COS(THETA)*RLEG(N1-1)
     2 - SQRT(N+M-1)*SQRT(N-M-1)/SQRT(2*N-3)*RLEG(N1-2)
     3 )

Esto corresponde exactamente a la recurrencia vertical. Evidentemente$\overline{P}_{n,m}(\cos\theta)$se almacena en una matriz unidimensional RLEG(n). (No he estudiado el código para entender cómo maneja las distintas columnas).

Una conclusión es que la fórmula de normalización utilizada en el programa F447.f es la$N_{n,m}$fórmula dada en la respuesta anterior.