¿Ecuación para el período orbital alrededor de cuerpos achatados, basada en J2?

En esta respuesta , señalo que el período de elementos (partículas anulares, lunas, naves espaciales, etc.) alrededor de un cuerpo achatado no escalará exactamente como a 3 / 2 porque cuanto más cerca estás del planeta, más fuertes son los efectos perturbadores como resultado de estar mucho más cerca del lado cercano del "anillo" achatado que del lado lejano. Matemáticamente eso resulta ser 1 / r 4 contra 1 / r 2 .

Puedo calcular órbitas sin pensar, incluido el j 2 término como se muestra en esta respuesta usando estos términos de aceleración radial asumiendo una órbita ecuatorial:

a 0 = − GRAMO METRO r 2 ,

a 2 = − 3 2 j 2 GRAMO METRO R 2 r 4 ,

donde a 0 es la aceleración radial debida al término monopolar y a 2 es la aceleración radial debida al término cuadripolar, esa parte de la oblatividad capturada dentro del j 2 coeficiente, y R es el radio de normalización del cuerpo utilizado para mantener j 2 adimensional

Puedo reescribir esto como

a t o t = − GRAMO METRO r 2 ( 1 + 3 2 j 2 R 2 r 2 )

y solo decido que para el caso ecuatorial circular puedo establecer r igual al eje semi-mayor y la "masa efectiva" del cuerpo central se incrementa por el factor entre paréntesis, pero no estoy seguro si lo he hecho bien, y ciertamente no sé qué hacer si el la órbita es elíptica y/o inclinada.

Pregunta: ¿Cuál sería una ecuación para el período de una órbita circular teniendo en cuenta j 2 ¿parece? ¿Hay algo que incluya también órbitas elípticas y/o inclinadas?

También estoy un poco confundido acerca de la masa y su distribución. Me gustaría verificar que el parámetro gravitatorio estándar GRAMO METRO representa toda la masa, incluida la del abultamiento ecuatorial, y que de alguna manera no estamos contando dos veces eso al usar j 2 .

Una pregunta relacionada y (aún) sin respuesta es Para la relación matemática entre J2 (km ^ 5 / s ^ 2) y J2 adimensional, ¿cuál se deriva del otro? .

@ChrisB.Behrens, gracias por sus varias reescrituras de títulos, pero después de hacer más de 1000 preguntas de Stack Exchange, he desarrollado un sentido de la forma en que me gustaría escribir títulos.

Respuestas (1)

Si considera que el período orbital se define como cruces de nodos sucesivos, eso se conoce como el período nodal . Para una órbita con semieje mayor a alrededor de un cuerpo esférico con parámetro gravitatorio m , el período nodal es igual al período Kepleriano: T 0 = 2 π a 3 m , sin embargo, como usted señala, esto cambia cuando se tiene en cuenta la oblatividad. Wikipedia tiene una forma para la expresión tomando el j 2 moverse en cuenta:

T = T 0 [ 1 − 3 j 2 ( 4 − 5 pecado 2 ⁡ i ) 4 ( a R ) 2 1 − mi 2 ( 1 + mi porque ⁡ ω ) 2 − 3 j 2 ( 1 − mi porque ⁡ ω ) 3 2 ( a R ) 2 ( 1 − mi 2 ) 3 ]

Como puedes ver, depende de la excentricidad. mi , argumento del perigeo ω , e inclinación i de la órbita, a diferencia de T 0 que es sólo una función del semieje mayor. R es el radio ecuatorial del cuerpo.

Como ejemplo, usando esta ecuación, una órbita alrededor de la Tierra con a = 6778   kilómetros , mi = 1 × 10 − 3 , i = 20 ∘ , y ω = 0 ∘ tiene un período Kepleriano de aproximadamente 92,56 minutos frente a un período nodal que incorpora j 2 de unos 92,20 minutos, siendo este último algo menos de 22 segundos más corto.

¡Ay! Eso es más complicado de lo que esperaba, pero, de nuevo, no sabía realmente qué esperar. Lo llevaré a dar una vuelta. Nunca estoy seguro de qué califica como un período para una órbita que no se repite exactamente, pero parece que el período nodal es bastante fácil de entender y probar. ¡Gracias por la ecuación y la explicación!
Había planeado escribir un guión corto para probar algunas órbitas oblicuas para verificar numéricamente algunos casos antes de agregar una recompensa, pero nunca logré obtener "un tuit redondo". Gracias por el laborioso MathJaxing :-)
Tenga en cuenta que el artículo de Wikipedia dice que esto solo se aplica a "órbitas casi circulares". Tengo curiosidad acerca de qué tan bien funciona para los casos más excéntricos.
¿Ecuación para el período orbital alrededor de cuerpos achatados, basada en J2?
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