¿Cuál es la estrategia óptima de cambio de inclinación?

Question

¿Cuál es la estrategia óptima de cambio de inclinación?

Espacio
delta-v
Matemáticas
mecánica-orbital
cambio de inclinación

SE - deja de despedir a los buenos

Considere una transferencia entre dos órbitas circulares de radio similar, la única diferencia es la diferencia de inclinación, $\alpha$ . cual es el minimo $\Delta v$ necesarios para realizar esta transferencia?

Estrategias de cambio de inclinación que he considerado hasta ahora:

Un solo cambio de inclinación de quemado. Esto es bastante simple, solo la diferencia entre dos vectores de velocidad, lo que resulta en:

Δ v_{1} (α) = 2 pecado (α / 2)

$\Delta v_1(\alpha) = 2\sin(\alpha/2)$

(medido en unidades de velocidad de la órbita circular)

Sin embargo cuando $\alpha > 48.9^\circ$ , cuesta menos acelerar casi hasta la velocidad de escape, realizar el cambio de inclinación en un apoapsis arbitrariamente lejos y luego volver a quemar retrógrado en la órbita objetivo, a un costo constante $2\sqrt{2} -2$ independiente de $\alpha$

Como 2), pero haciendo el cambio de inclinación en un apoapsis finito, intercambiando un menor costo de aceleración y desaceleración por un mayor costo de cambio de inclinación en el apoapsis.

Δ v_{3} (α, A) = 2 (\sqrt{2 - \frac{2}{1 + A}} - 1) + 2 pecado (α / 2) \sqrt{\frac{2}{A} - \frac{2}{1 + A}}

$\Delta v_3(\alpha,A) = 2\left(\sqrt{2-\frac{2}{1 + A}}-1\right) + 2\sin(\alpha/2)\sqrt{\frac{2}{A}-\frac{2}{1 + A}}$

Esto solo corta ligeramente la esquina entre 1) y 2)

Como 3), pero también haciendo una parte del cambio de inclinación, $\beta$ , combinado con las quemaduras de aceleración y desaceleración.

Δ v_{4} (α, A, β) = 2 \sqrt{{(porque (β) \sqrt{2 - \frac{2}{1 + A}} - 1)}^{2} + {(pecado (β) \sqrt{2 - \frac{2}{1 + A}})}^{2}} + 2 pecado ((α - 2 β) / 2) \sqrt{\frac{2}{A} - \frac{2}{1 + A}}

$\Delta v_4(\alpha,A,\beta) = 2\sqrt{\left(\cos(\beta)\sqrt{2-\frac{2}{1 + A}} - 1\right)^2 + \left(\sin(\beta)\sqrt{2-\frac{2}{1 + A}}\right)^2} + 2\sin((\alpha - 2\beta)/2)\sqrt{\frac{2}{A}-\frac{2}{1 + A}}$

Una optimización numérica para $A$ y $\beta$ se dibuja en rojo en el siguiente diagrama.

Es evidente que las estrategias 3) y 4) son ligeramente más eficientes en la región donde 2) sustituye a 1). Además, 3) como caso especial de 4) nunca es más eficiente, por lo que siempre es beneficioso dividir el cambio de inclinación entre todas las quemaduras.

¿Existen otras estrategias de cambio de inclinación que sean más eficientes para algunos valores de $\alpha$ ?

¿Tienen las estrategias 3) y 4) alguna forma cerrada simple que no requiera optimizar numéricamente sus parámetros?

Editar: he podido encontrar un formulario cerrado para 3)

La apoapsis óptima es

A (α) = máximo (1, \frac{pecado (α / 2)}{1 - 2 pecado (α / 2)})

$A(\alpha) = \max\left(1,\frac{\sin(\alpha/2)}{1 - 2\sin(\alpha/2)}\right)$

Cuyos rendimientos

Δ v_{3} (α) = 2 (\sqrt{2 - \frac{2}{1 + A (α)}} - 1) + 2 pecado (α / 2) \sqrt{\frac{2}{A (α)} - \frac{2}{1 + A (α)}}

$\Delta v_3(\alpha) = 2\left(\sqrt{2-\frac{2}{1 + A(\alpha)}}-1\right) + 2\sin(\alpha/2)\sqrt{\frac{2}{A(\alpha)}-\frac{2}{1 + A(\alpha)}}$

russell borogove

No hay información real, pero si dividir el cambio de inclinación entre las quemaduras inicial y final es una mejora, verificaría el caso de múltiples cambios de inclinación a mitad de camino solo para ver si hay alguna ganancia adicional allí. Siempre que esté ahí planeando cosas, también podría ser interesante observar el tiempo que toma cada una de estas estrategias.

SE - deja de despedir a los buenos

No puedo encontrar ningún caso en el que las quemaduras a mitad de camino reduzcan los costos, pero son difíciles de manejar ya que están fuera de la alineación del nodo. El tiempo de transferencia es relativamente sencillo. 1) es el caso instantáneo, y 2) va hacia el infinito (y tiende hacia 3) para casos realistas). Tanto 3) como 4) son solo una única órbita elíptica. 4) es más rápido que 3) en la mayor parte de su rango relevante.

SE - deja de despedir a los buenos

Creo que he podido encontrar una forma cerrada para la apoapsis óptima para 3). Lo editaré en.

Respuestas (1)

¿Cuál es la estrategia óptima de cambio de inclinación?

No hay información real, pero si dividir el cambio de inclinación entre las quemaduras inicial y final es una mejora, verificaría el caso de múltiples cambios de inclinación a mitad de camino solo para ver si hay alguna ganancia adicional allí. Siempre que esté ahí planeando cosas, también podría ser interesante observar el tiempo que toma cada una de estas estrategias.
No puedo encontrar ningún caso en el que las quemaduras a mitad de camino reduzcan los costos, pero son difíciles de manejar ya que están fuera de la alineación del nodo. El tiempo de transferencia es relativamente sencillo. 1) es el caso instantáneo, y 2) va hacia el infinito (y tiende hacia 3) para casos realistas). Tanto 3) como 4) son solo una única órbita elíptica. 4) es más rápido que 3) en la mayor parte de su rango relevante.
Creo que he podido encontrar una forma cerrada para la apoapsis óptima para 3). Lo editaré en.

Fantasma silencioso · Answer 1

Daré mi mejor oportunidad actual en este problema, y otros deben sentirse libres para fortalecer el argumento con matemáticas adicionales. (¡O haz agujeros!)

Haces dos preguntas, responderé la primera ya que la segunda ha sido parcialmente respondida por la actualización.

¿Existen otras estrategias de cambio de inclinación que sean más eficientes para algunos valores de $\alpha$ ?

Yo digo que no, que de hecho has encontrado la solución óptima. Cualquier cambio de inclinación (o cualquier cambio de órbita para el caso) es simplemente un cambio del momento angular $\vec{L}$ de la órbita. Para un cambio de inclinación estricto, la magnitud de $\vec{L}$ es constante, solo cambia su dirección.

Ahora, para lograr el cambio de inclinación, podemos pensar en cualquier quemadura como un cambio en el momento angular integrado en el tiempo:

Δ \vec{L} = \int \frac{d \vec{v (t)}}{d t} \times \vec{r (t)} d t

$\Delta\vec{L} = \int{\frac{d\vec{v(t)}}{dt}\times\vec{r(t)}}dt$ pero en el caso de quemaduras impulsivas, es la suma de componentes discretos

Δ \vec{L} = \sum Δ \vec{v (t)} \times \vec{r (t)}

$\Delta\vec{L} = \sum{\Delta\vec{v(t)}\times\vec{r(t)}}$ dónde

t

$t$ no es necesario que haya tiempo en la segunda ecuación, solo un parámetro para indicar que dicha quemadura ocurre en el radio especificado.

Sus ecuaciones son simplemente versiones explícitas de la segunda ecuación. Entonces solo queda ver si es posible alguna optimización adicional. Dado que ha optimizado las quemaduras de ampliación, cambio de inclinación y reducción de tamaño (¿es eso siquiera una palabra?), solo necesitamos verificar si las quemaduras a mitad de curso reducen el total. $\Delta v$ gastado.

Mi argumento es no. Cualquier quemadura de este tipo, como mencionaste, estaría fuera del eje. Matemáticamente, introducirían componentes a $\vec{L}$ que no se puede quitar en ningún otro lugar que no sea el lado exactamente opuesto de la quemadura (en el caso de 2 quemaduras a mitad de curso) o agregue más quemaduras a mitad de curso para reparar los componentes no deseados de $\vec{L}$ . Estoy seguro de que alguien encontrará una mejor manera de mostrar esto matemáticamente, pero la intuición es que los nodos giran alrededor de la órbita y no se reducen en magnitud. Esto es solo un desperdicio de $\Delta v$ .

Por eso estas quemadas siempre aportarán más $\Delta v$ de lo que eliminan, postularía el efecto Oberth. Tales quemaduras a mitad de camino ocurrirían donde el $\Delta v$ tiene menos influencia en el radio de la órbita que en el periápside (¡que ya hemos quemado!) Mencioné anteriormente que las quemaduras a mitad de camino tienen componentes no deseados, pero también pueden tener componentes deseables. Argumento que estos componentes deseables (radial, progrado) se logran mejor en la quemadura periáptica inicial debido al efecto Oberth.

Por lo tanto, la conclusión es que ha optimizado el problema para la situación de quemado por impulso de 2 cuerpos. Dado que cualquier grabación necesariamente debe tomar un tiempo finito, estoy seguro de que hay muchos otros parámetros de optimización que deben tenerse en cuenta para una grabación de tiempo finito. Pero la esencia es la misma, un cambio de inclinación de 3 quemados siempre será óptimo.

He presentado un argumento muy ondulado sin demasiadas matemáticas sólidas, pero espero que esto establezca el marco para que alguien analice las matemáticas de una forma convincente y a prueba de balas.

Eso es principalmente intuición de hecho. Para algunos casos exóticos dentro de estas supuestas restricciones, considere, por ejemplo, a) una transferencia de cinco quemaduras, con una elevación inicial de la apoapsis, una disminución del periapsis, una segunda elevación de la apoapsis, un cambio de plano y, finalmente, la quemadura retrógrada. Tal esquema no es beneficioso en las transferencias planares, pero ¿quién sabe cuándo se distribuye la inclinación entre todas esas quemaduras? En segundo lugar, b) ¿qué pasa con el caso en que el prograde y retrógrado $\beta$ ¿Los ángulos son asimétricos? Mi intuición dice que no en ambos casos, pero eso no prueba nada.
Creo que es probable que una solución de 3 quemaduras sea óptima en muchos casos, pero creo que existe una clara posibilidad de que algo similar a una transferencia bi-elíptica pueda tener una ventana de "optimidad". Es posible que se hayan perdido otros parámetros suaves de la lista o el uso de un mínimo local, pero no global. Interesante pregunta. Podría tener una puñalada en algún momento, pero sospecho que sería difícil probar algo tan óptimo.

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russell borogove

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Fantasma silencioso

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