¿Cuál es la excentricidad de una órbita (trayectoria) que cae directamente hacia el centro?

La excentricidad es 1.0.

la excentricidad$e$de una órbita se puede encontrar a partir del radio del apoapse y el periapse como:

$$e=\frac{r_a-r_p}{r_a+r_p}$$

y el semieje mayor$a$puede también, de:

$$a=\frac{r_a+r_p}{2}$$

Si lanzas un objeto horizontalmente (velocidad perpendicular al vector de posición), terminarás en una órbita cerrada si lo lanzas a una velocidad inferior a la de escape, en una órbita parabólica abierta si lo lanzas exactamente a la velocidad de escape o en una hiperbólica abierta si lo lanzas. es mayor que la velocidad de escape.

Hay una velocidad que resultará en una órbita circular perfecta, con$e=0$. También podríamos llamar a esto "velocidad de órbita circular". En la ecuación de excentricidad, si$r_a=r_p$como lo hace en una órbita circular, vemos que el numerador es cero, mientras que el denominador es distinto de cero, por lo que la fracción entera también es cero.

Si lanza más lento que la velocidad circular, el objeto caerá más cerca del centro antes de volver a subir. Cuanto más bajo se pone el objeto, más bajo es el periapse. En la ecuación de excentricidad, como$r_p$disminuye, el numerador crece mientras que el denominador se reduce, por lo que la fracción completa aumenta. A medida que vamos más lentos, aumentamos la excentricidad.

El caso límite de esto es si lo lanzas a velocidad cero, es decir, lo dejas caer.

Para un objeto que se deja caer en un campo de gravedad alrededor de una masa puntual real, terminará siendo el apoapse el radio en el que dejó caer el objeto y el periapse en cero. Esta es una órbita muy extraña, porque el objeto tardará un tiempo finito en llegar al centro, pero alcanzará una velocidad infinita justo cuando pase por el centro, donde hará un giro de 180° y volverá a subir hasta que alcance su descenso original. altura a velocidad cero y comienza otro ciclo. Puede usar la tercera ley de Kepler para calcular el tiempo de esta órbita, ya que todavía tiene un bien definido$a$.

Una masa esféricamente simétrica con una superficie definida (densidad de cero fuera de un cierto radio) tiene un campo de gravedad idéntico al de una masa puntual centrada en todas partes fuera de su superficie. Por lo tanto, un objeto arrojado sobre la superficie en un planeta más realista seguiría una órbita idéntica a la arrojada en el mismo radio sobre una masa puntual, hasta que golpee la superficie. Si pasara a través de la superficie (digamos que taladró un agujero), el campo de gravedad debajo de la superficie no es el mismo que el de una masa puntual.

Cada vez que estoy en un juego de béisbol y veo un pop-fly, siempre me divierte pensar que el camino que sigue la pelota no es realmente una parábola, sino solo el final de una elipse muy alargada, que si continúa, formaría el misma forma cerca del centro de la Tierra.

En este caso,$r_p=0$. La fracción de excentricidad tiene su numerador igual a$r_a-0=r_a$, y denominador igual a$r_a+0=r_a$también. La excentricidad es exactamente 1.0.

"¡Pero Kwan!" Te escucho gritar. "Si$e=1$, ¿eso no la convierte en una órbita parabólica?" En este caso, no. Una órbita parabólica tiene$e=1$ y $a=\infty$, mientras que la órbita de caída tiene$e=1$pero decididamente no infinito$a=r_a/2$.

Este caso es el límite de una elipse que se vuelve más y más delgada a medida que los focos se separan. En ese límite, un foco está en el centro, otro en el punto de caída y la elipse tiene un ancho cero pero una longitud finita.

En esta imagen, el círculo que no se mueve representa una esfera con radio 1, y la elipse que se mueve representa una órbita con un radio de apoapse constante de 2,0 pero con una excentricidad variable.

Tenga en cuenta que esto no es lo que sucedería si perforara un agujero en la tierra y dejara caer un objeto. Esto solo se aplica a una masa puntual real y no tiene en cuenta la relatividad (una masa puntual real sería una singularidad, y el objeto pasaría el horizonte de eventos en el camino hacia abajo y nunca volvería a subir).

La excentricidad de una órbita radial es$1$, independientemente de su energía.

Esta es una clase de órbitas en las que el tipo de órbita no se puede deducir solo de la excentricidad. Con una órbita parabólica "tradicional" de$e=1$, el momento angular$L$tiene un valor bien definido, pero el eje semi-mayor$a$no está definido. En el caso de una órbita de caída libre acotada verticalmente, el semieje mayor$a$es un valor bien definido, y el momento angular$L$es$0$.

La ecuación que relaciona el momento angular con la excentricidad y el semieje mayor muestra cómo se puede calcular la excentricidad dado el momento angular.

$$l = \sqrt{\mu a(1-e^2)}$$ Para una órbita parabólica,$a\rightarrow\inf$, por lo que definir el momento angular a través de esta fórmula no funciona. Sin embargo, para órbitas radiales donde el objeto no viaja exactamente a la velocidad de escape, esta fórmula está bien definida. Implicaría que la excentricidad para una trayectoria radial, sin importar la energía, es$1$. El artículo de wikipedia sobre excentricidad orbital lo confirma.

Las trayectorias radiales se clasifican como elípticas, parabólicas o hiperbólicas según la energía de la órbita, no la excentricidad. Las órbitas radiales tienen un momento angular cero y, por lo tanto, una excentricidad igual a uno. Manteniendo la energía constante y reduciendo el momento angular, las órbitas elíptica, parabólica e hiperbólica tienden cada una al tipo correspondiente de trayectoria radial mientras que e tiende a 1 (o en el caso parabólico, sigue siendo 1).

Múltiples definiciones permiten que la órbita radial tenga una excentricidad de uno también.

$$e = \frac{r_a-r_p}{r_a+r_p}$$

$$e = \sqrt{1 + \frac{2\epsilon l^2}{\mu^2}}$$

con$\epsilon$siendo la energía orbital específica. Sin embargo, el uso de otros con excentricidad como entrada puede generar resultados indefinidos. A saber, la definición paramétrica falla en$\theta=0$:

$$r = \frac{a(1-e^2)}{1-e\cos\theta}$$

Entonces, la conclusión es que una órbita radial tiene una excentricidad de$1$no importa su energía. Sin embargo, intentar utilizar la excentricidad para los cálculos orbitales puede dar lugar a resultados indefinidos.

Anteriormente había mencionado que la sección cónica es una línea, pero creo que esto es incorrecto, porque la órbita puede estar acotada (y está en la pregunta), y este es un segmento de línea. Así que tengo curiosidad en cuanto a la sección cónica de una órbita limitada (y para el caso de una órbita radial de energía positiva).