¿Qué significa exactamente la variable universal x y z?

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Estas son solo variables de conveniencia que dependen del cambio de anomalía excéntrica desde el punto de movimiento inicial al final analizado (o previsto).

Para órbita elíptica:

o, para negativo$a$(órbita hiperbólica),

Para órbita parabólica,

Para órbita elíptica:

Para órbita hiperbólica:

Para órbita parabólica,$z = 0$(también, cuando no hay cambios en la anomalía excéntrica).

donde$E$es la anomalía excéntrica (página 183):

$D$es "anomalía excéntrica parabólica" y$F$- "anomalía excéntrica hiperbólica" (siempre un valor imaginario) - contrapartes de$E$para trayectorias parabólicas e hiperbólicas. Las páginas siguientes explican la derivación de estos.

Como nota al margen, creo que Eccentric Anomaly merece una mejor justificación y explicación de lo que obtiene, con la extensión de líneas arbitrarias a círculos elegidos al azar para propósitos desconocidos.

Como la ecuación estándar de la elipse es$({x\over a})^2 + ({y \over b})^2 = 1$(eso es una coordenada cartesiana$x$, no la variable universal$x$) la parametrización típica es:

¡La respuesta de @ SF. se comprueba muy bien! xSF=xOP y zSF = zOP.

Usé algunas ecuaciones de esta respuesta .

No estoy seguro de si responde completamente a la pregunta del OP, pero dado que se verifica matemáticamente, otorgaré esta recompensa en particular.

Como dice Meatloaf, todo funciona si lo dejas.

def deriv(X, t):
    x, v = X.reshape(2, -1)
    acc  = -x * mu * ((x**2).sum())**-1.5
    return np.hstack((v, acc))

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

from scipy.integrate import odeint   as ODEint
from scipy.integrate import cumtrapz as CTrapz

# https://space.stackexchange.com/questions/31032/what-exactly-means-universal-variable-x-and-z

halfpi, pi, twopi = [f*np.pi for f in (0.5, 1, 2)]

mu     = 1.0
a      = 1.0
peri   = 0.5
apo    = 2.*a - peri
vperi  = np.sqrt(mu*(2./peri - 1./a))
vapo   = np.sqrt(mu*(2./apo  - 1./a))

X0     = np.array([peri, 0, 0, vperi])

time   = np.linspace(0, twopi, 201)

answer, info = ODEint(deriv, X0, time, full_output=True)

x, y, vx, vy = answer.T
theta        = np.arctan2(y, x)
half_theta   = 0.5 * theta


r     = np.sqrt(x**2 + y**2)
xdot  = np.sqrt(mu)/r
xOP   = CTrapz(xdot, time, initial=0)
zOP   = xOP**2/a

# https://space.stackexchange.com/questions/27602/what-is-hyperbolic-eccentric-anomaly-f/27604#27604

ecc       = (apo-peri)/(apo+peri)
term      = np.sqrt((1. - ecc)/(1. + ecc))
tanEover2 = term * np.tan(half_theta)
E         = 2. * np.arctan(tanEover2)
E0        = E[0]
E[E<0]   += twopi  # keep it positive

xSF       = np.sqrt(a)*(E - E0)
zSF       = (E - E0)**2

things    = ( r,   theta,   xOP,   zOP,   xdot,   E,   xSF,   zSF )
names     = ('r', 'theta', 'xOP', 'zOP', 'xdot', 'E', 'xSF', 'zSF')

if True:
    plt.figure()
    for i, (thing, name) in enumerate(zip(things, names)):
        plt.subplot(2, 4, i+1)
        plt.plot(time, thing)
        plt.title(name, fontsize=16)
    plt.show()

if True:
    plt.figure()
    plt.subplot(1, 2, 1)
    plt.title('x and xSF versus time')
    plt.plot(time, xOP,  '-r', linewidth=4)
    plt.plot(time, xSF, '--k', linewidth=2)
    plt.subplot(1, 2, 2)
    plt.title('z and zSF versus time')
    plt.plot(time, zOP,  '-r', linewidth=4)
    plt.plot(time, zSF, '--k', linewidth=2)
    plt.show()

if True:
    x, y, vx, vy = answer.T
    plt.subplot(1, 2, 1)
    plt.title('y versus x')
    plt.plot(x, y)
    plt.plot([0], [0], 'ok')
    plt.subplot(2, 2, 2)
    plt.title('x and y versus time')
    plt.plot(time, x)
    plt.plot(time, y)
    plt.subplot(2, 2, 4)
    plt.title('vx and vy versus time')
    plt.plot(time, vx)
    plt.plot(time, vy)
    plt.show()