Varíe la acción con respecto a la velocidad

Question

Varíe la acción con respecto a la velocidad

acción
Física
velocidad
formalismo lagrangiano
cálculo variacional
derivados funcionales

ahumado

variación de la acción $S$ correspondiente a un Lagrangiano, por ejemplo $L(x(t),\dot{x}(t))$ da las ecuaciones de Euler-Lagrange:

\frac{d S}{d X (t)} = 0 \int d tu (\frac{d L}{d X (tu)} \frac{d X (tu)}{d X (t)} + \frac{d L}{d \dot{X} (tu)} \frac{d \dot{X} (tu)}{d X (t)}) = 0 \int d tu (\frac{d L}{d X (tu)} d (t - tu) + \frac{d L}{d \dot{X} (tu)} \frac{d \dot{X} (tu)}{d X (t)}) = 0 \dots \frac{d L}{d X} - \frac{d}{d t} \frac{d L}{d \dot{X}} = 0

$\frac{\delta S}{\delta x(t)} = 0 \\ \int du \left ( \frac{\delta L}{\delta x(u)} \frac{\delta x(u)}{\delta x(t)} + \frac{\delta L}{\delta \dot{x}(u)} \frac{\delta \dot{x}(u)}{\delta x(t)} \right ) = 0 \\ \int du \left ( \frac{\delta L}{\delta x(u)} \delta(t-u) + \frac{\delta L}{\delta \dot{x}(u)} \frac{\delta \dot{x}(u)}{\delta x(t)} \right ) = 0 \\ \dots \\ \frac{\delta L}{\delta x} - \frac{d}{dt} \frac{\delta L}{\delta \dot{x}} = 0$

Donde en el $\dots$ realizamos la integración por partes en el término correcto.

¿Qué sucede si variamos la acción con respecto a la velocidad? ¿Tiene sentido físico? ¿Qué tipo de ecuación resultaría?

Algún intento:

\frac{d S}{d \dot{X} (t)} = 0 \int d tu (\frac{d L}{d X (tu)} \frac{d X (tu)}{d \dot{X} (t)} + \frac{d L}{d \dot{X} (tu)} d (t - tu)) = 0 \int d tu \frac{d L}{d X (tu)} \frac{d X (tu)}{d \dot{X} (t)} + \frac{d L}{d \dot{X} (t)} = 0

$\frac{\delta S}{\delta \dot{x}(t)} = 0 \\ \int du \left ( \frac{\delta L}{\delta x(u)} \frac{\delta x(u)}{\delta \dot{x}(t)} + \frac{\delta L}{\delta \dot{x}(u)} \delta(t-u) \right ) = 0 \\ \int du \frac{\delta L}{\delta x(u)} \frac{\delta x(u)}{\delta \dot{x}(t)} + \frac{\delta L}{\delta \dot{x}(t)} = 0 \\$

Ahora:

X (tu) = \int d tu \frac{\partial X}{\partial tu} \frac{d X (tu)}{d \dot{X} (t)} = \int d tu d (tu - t) = 1

$x(u) = \int du \; \frac{\partial x}{\partial u} \\ \frac{\delta x(u)}{\delta \dot{x}(t)} = \int du \; \delta (u-t) = 1$

si es cierto da

\int d tu \frac{d L}{d X (tu)} + \frac{d L}{d \dot{X} (t)} = 0

$\int du \; \frac{\delta L}{\delta x(u)} + \frac{\delta L}{\delta \dot{x}(t)} = 0$

¿Se puede simplificar esto más? O alternativamente, ¿puedo relacionarme $\delta S / \delta \dot{x}$ a $\delta S / \delta x$ ?

Sean E. Lago

Estás cometiendo un error. Las ecuaciones EL son:

\frac{\partial L}{\partial X} - \frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial \dot{X}}) .

$\frac{\partial L}{\partial x} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \left(\frac{\partial L}{ \partial \dot{x}}\right).$ la relación es:

\frac{d L (X (t))}{d X (t^{'})} = \frac{\partial L (X)}{\partial X} d (t - t^{'}) + \frac{\partial L}{\partial \dot{X}} d^{'} (t - t^{'}) + \dots .

$\frac{\delta L(x(t))}{\delta x(t')} = \frac{\partial L(x)}{\partial x} \delta(t - t') + \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} \delta'(t-t') + \ldots.$

Respuestas (1)

Varíe la acción con respecto a la velocidad

Estás cometiendo un error. Las ecuaciones EL son: $\frac{\partial L}{\partial X} - \frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial \dot{X}}) .$ $\frac{\partial L}{\partial x} - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \left(\frac{\partial L}{ \partial \dot{x}}\right).$ la relación es: $\frac{d L (X (t))}{d X (t^{'})} = \frac{\partial L (X)}{\partial X} d (t - t^{'}) + \frac{\partial L}{\partial \dot{X}} d^{'} (t - t^{'}) + \dots .$ $\frac{\delta L(x(t))}{\delta x(t')} = \frac{\partial L(x)}{\partial x} \delta(t - t') + \frac{\partial L}{\partial \dot{x}} \delta'(t-t') + \ldots.$

qmecanico · Answer 1

En primer lugar, recuerde que se puede variar la velocidad $v$ independientemente de la posición $q$ en el lagrangiano $L(q,v,t)$ . De hecho, el momento canónico (lagrangiano) se define como
$\begin{matrix} (A) & pag (q, v, t) := \frac{\partial L (q, v, t)}{\partial v} . \end{matrix}$ $\tag{A} p(q,v,t)~:=~\frac{\partial L(q,v,t)}{\partial v}.$ Esto se explica con más detalle en, por ejemplo , publicaciones this , this y this Phys.SE.
Definamos por conveniencia posterior
$\begin{matrix} (B) & F (q, v, t) := \frac{\partial L (q, v, t)}{\partial q}, \end{matrix}$ $\tag{B} F(q,v,t)~:=~\frac{\partial L(q,v,t)}{\partial q},$ de modo que la ecuación de Euler-Lagrange (EL) toma la forma sugerente
$\begin{matrix} (C) & {F (q, v, t) |}_{v = \dot{q}} \approx {\frac{d pag (q, v, t)}{d t} |}_{v = \dot{q}}, \end{matrix}$ $\tag{C} \left. F(q,v,t)\right|_{v=\dot{q}}~\approx~\left.\frac{dp(q,v,t)}{dt} \right|_{v=\dot{q}} \quad,$ cf. 2da ley de newton . [Aquí el $\approx$ símbolo significa igualdad módulo eq. de movimiento Un punto significa diferenciación wrt. tiempo $t$ .]
Ahora OP realmente pregunta sobre la acción (a diferencia del Lagrangiano). No tiene sentido variar el perfil de velocidad $v:[t_i,t_f]\to \mathbb{R}$ independientemente del perfil de puesto $q:[t_i,t_f]\to \mathbb{R}$ en el funcional de acción (fuera de la cáscara)
$\begin{matrix} (D) & S [q] = {\int_{t_{i}}^{t_{F}} d t L (q (t), v (t), t) |}_{v = \dot{q}} . \end{matrix}$ $\tag{D} S[q]~=~\left. \int_{t_i}^{t_f} \! dt~ L(q(t),v(t),t)\right|_{v=\dot{q}} \quad.$
Sin embargo, es posible hacer redefiniciones de campo. Por ejemplo, descomponer la ruta de posición $q:[t_i,t_f]\to \mathbb{R}$ en otra base, por ejemplo, por series/transformación de Fourier, y variar wrt. las nuevas variables.
Para el resto de esta respuesta, imaginemos que el sistema tiene condiciones de contorno mixtas (BC) con un Essential/Dirichlet BC inicial
$\begin{matrix} (MI) & q (t_{i}) = q_{i}, \end{matrix}$ $\tag{E} q(t_i)~=~q_i,$ y un BC Natural final $\begin{matrix} (F) & pag (q (t_{F}), v (t_{F}), t_{F}) = 0. \end{matrix}$ $\tag{F} p(q(t_f),v(t_f),t_f)~=~0.$ Tenga en cuenta que el BC (F) normalmente restringe la velocidad final $v(t_f)$ . Dejamos al lector considerar otros BC.
Una posibilidad relacionada con la pregunta de OP es definir una redefinición de campo no local de la forma
$\begin{matrix} (GRAMO) & q (t) = I [v; t] := q_{i} + \int_{t_{i}}^{t} d t v (t), \end{matrix}$ $\tag{G} q(t) ~=~ I[v;t]~:=~ q_i + \int_{t_i}^{t} \! dt~v(t),$ donde la velocidad $v$ son las nuevas variables dinámicas, y para que la acción funcional (fuera de la cáscara) se vuelva no local $\begin{matrix} (H) & S [v] = {\int_{t_{i}}^{t_{F}} d t L (q (t), v (t), t) |}_{q = I [v; \cdot]} . \end{matrix}$ $\tag{H} S[v] ~=~\left. \int_{t_i}^{t_f} \! dt~L(q(t),v(t),t)\right|_{q=I[v;\cdot]} \quad.$ La derivada funcional de la ec. (G) se convierte $\begin{matrix} (I) & \frac{d I [v; t]}{d v (t^{'})} = θ (t_{i} \leq t^{'} \leq t \leq t_{F}) \end{matrix}$ $\tag{I} \frac{\delta I[v;t]}{\delta v(t^{\prime})} ~=~\theta(t_i \leq t^{\prime} \leq t \leq t_f)$ en una notación con suerte obvia. El principio de acción estacionario para la acción (H) produce una ecuación EL no local $\begin{matrix} (J) & {\int_{t}^{t_{F}} d t^{'} F (q (t^{'}), v (t^{'}), t^{'}) |}_{q = I [v; \cdot]} + {pag (q (t), v (t), t) |}_{q = I [v; \cdot]} \approx 0, \end{matrix}$ $\tag{J} \left.\int_{t}^{t_f} \! dt^{\prime}~F(q(t^{\prime}),v(t^{\prime}),t^{\prime}) \right|_{q=I[v;\cdot]} + \left.p(q(t),v(t),t)\right|_{q=I[v;\cdot]}~\approx~0,$ que es equivalente a las ecs. (C) & (F), y corresponde a la última ecuación de OP.

Varíe la acción con respecto a la velocidad

ahumado

Sean E. Lago

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